第七讲 基本不等式 知识总结与题型归纳讲义 (原卷版+解析版)-2026届高三艺术生数学一轮复习

第七讲 基本不等式知识总结与题型归纳 知识再现 1、基本不等式 若，则，当且仅当时取等号；为重要不等式， 如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 几个重要的不等式 （1） （2）基本不等式：如果，则（当且仅当“”时取“”）． 特例：（同号）． （3）其他变形： ①（沟通两和与两平方和的不等关系式） ②（沟通两积与两平方和的不等关系式） ③（沟通两积与两和的不等关系式） ④重要不等式串：即 调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值（注意等号成立的条件）． 2、和为定值积最大，积为定值和最小 已知． （1）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即“和为定值，积有最大值”． （2）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即积为定值，和有最小值”． 3、常见求最值模型 模型一：，当且仅当时等号成立； 模型二：，当且仅当时等号成立； 模型三：，当且仅当时等号成立； 模型四：，当且仅当时等号成立． 题型一：基本不等式及其应用 例1.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（ ） A． B． C． D． 例2.下列不等式恒成立的是（ ） A． B． C． D． 例3.（多选）给出下列命题中，其中为真命题的是（ ） A.已知，则成立； B.已知且，则成立； C.已知，则的最小值为2； D.已知，，则成立． 变式训练 1.（多选）已知，，给出下列四个不等式，其中正确的不等式有（ ） A． B． C． D． 2.（多选）下列各不等式，其中正确的是（ ） A． B． C． D． 3.（多选）下列结论中正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型二：直接法求最值 例4.已知，那么的最小值是( ) A．1 B．2 C．4 D．5 例5.已知a＞0，b＞0，且a+2b＝ab，则ab的最小值是（　　） A．4 B．8 C．16 D．32 例6.若实数a，b满足，则ab的最大值为（ ） A．2 B．1 C． D． 变式训练 1.若，，，则的取值范围是（ ） A．， B． C．， D． 2.已知，且，则的最大值为（ ） A．2 B．5 C． D． 3.已知，则的最小值是（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 题型三：常规凑配法求最值 例7.函数的最小值是（ ） A． B． C． D． 例8.设，为正数，且，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 例9.当时，则的最大值为( ) A． B． C． D． 例10.若，则函数的最小值为_____. 变式训练 1．设，则函数的最大值为( ) A．2 B． C． D． 2．已知，则的取值范围为( ) A． B． C． D． 3．若，都是正数，且，则的最大值为 。 题型四：消参法求最值 例11.若正实数，满足，则的最大值为_____． 例12.已知a＞0，且a2－b＋4＝0，则（ ） A．有最大值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值 例13.已知实数x，y满足，且，则的最小值为（ ） A． B．8 C． D． 变式训练 1.设正实数、、满足，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 2.已知正实数满足，则的最小值为（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 3.已知a＞0，且a2－b＋4＝0，则（ ） A．有最大值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值 题型五：换元法求最值 例14.已知，，，则取到最小值为 _____． 例15.若，且，则的最小值为_____ 变式训练 1.对任意正数x，y，不等式恒成立，则实数k的取值范围是（ ） A． B． C． D． 题型六：“1”的代换求最值 例16.若正数满足，则的最小值是（ ） A． B． C．5 D．6 例17.若，则的最小值为（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 例18.已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 变式训练 1.已知p，q为正实数且，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 2.已知正数x，y满足，则的最小值（ ） A． B． C． D． 3.若两个正实数满足，且不等式有解，则实 ... ...