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课件网) 9.1 正弦定理与余弦定理 9.1.1 正弦定理 第1课时 正弦定理（一） 探究点一 已知两角及一边解三角形 探究点二 已知两边及一边的对角解 三角形 探究点三 三角形的面积 【学习目标】 1.结合实例,了解已知两边和其夹角的三角形面积公式的推理过 程,掌握三角形面积公式的应用; 2.了解正弦定理的推导过程,通过转化、构造归纳出正弦定理， 掌握正弦定理及其变形，培养逻辑推理素养和数学运算素养; 3.能用正弦定理解三角形,并能判断三角形解的个数. 知识点一 正弦定理 1.正弦定理的推导 一般地，若记的面积为,则_____ _____.由此可知，又因为 , ,，因此可得_____ _____. 2.正弦定理 文字语言 在一个三角形中,各边的长和它所对角的_____的比相等 符号语言 正弦 3.正弦定理的变形 （1） _____. （2） _____. 4.习惯上，我们把三角形的3个角与3条边都称为三角形的_____,已 知三角形的若干元素求其他元素一般称为_____. 元素 解三角形 【诊断分析】 判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”） （1）正弦定理适用于任意三角形.( ) √ （2）在中,等式 总能成立.( ) √ （3）在中，是 的充分不必要条件.( ) × [解析] 因为在中，，所以由正弦定理可得 ， 由三角形中大边对大角，可得 . 知识点二 利用正弦定理解三角形 1.利用正弦定理主要解答如下两种求解三角形的问题： （1）已知三角形的两角和一边,求_____; （2）已知三角形的两边和其中一边的对角,求_____ _____. 三角形的第三个角和其余两边 三角形的第三个边和其余两角 2.已知,和,用正弦定理求 时的各种情况如下： 图形 _____ _____ _____ _____ _____ 关系式 解的个数 一解 两解 无解 一解 无解 续表 【诊断分析】 判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”） （1）在中，已知，，，则能求出唯一的角 .( ) × [解析] 角 有可能是两个解. （2）在中,,, ，有两解.( ) × [解析] 由正弦定理得，即,则 ,又 ,所以 ，故有唯一解. （3）任意给出三角形的三个元素，都能求出其余元素.( ) × [解析] 已知的三个元素中至少有一个是边才能解三角形. 探究点一 已知两角及一边解三角形 ［探索］ 已知两角及一边，三角形的形状能确定吗？ 解：能确定，已知两角，三角形的三个角就都知道了，再知道一边， 三角形就确定了. 例1 在中，内角，，所对的边分别为,, ，已知 ， ， ，求角及边， . 解： ， ， . 由正弦定理，得 . ， 由正弦定理，得 . 变式 在中，内角,,所对的边分别为,, ，已知 ， ，，则 ____. [解析] ， ， ， . 在中，由正弦定理可得 , . ［素养小结］ （1）正弦定理实际上是三个等式:;; . 每个等式涉及四个元素,所以只要知道其中的三个就可以求另外一个. （2）已知两角和任意一边,在解三角形时,可直接利用正弦定理求得 边的长,要注意结合三角形的内角和为 . ①若所给边是已知角的对边，则可由正弦定理求另一角所对的边， 由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求第三边． ②若所给边不是已知角的对边，则先由三角形内角和定理求出第三 个角，再由正弦定理求另外两边． 探究点二 已知两边及一边的对角解三角形 ［探索］ 判断满足条件 ,,的 是否存在，并 说明理由. 解：假设满足条件的三角形存在，则由 可知 ，与 矛盾，因此不存在这样的三 角形. 例2 [2024·郑州外国语学校高一月考]在中，内角,, 所对的 边分别为,,，若，， ，三角形有唯一解， 则整数 的取值集合为( ) A. B. C. D. [解析] 由，可得，由正弦定理得 ，可 得，若有唯一解，则或 ，即 ，解得，故整数的取值集合为 . 故选C. √ 变式 [2024·广东东莞厚街中学高一月考] 在中，内角,, 所对的边分别为,,，若， , ，解这个三角 ... ...
