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课件网) 9.1 正弦定理与余弦定理 9.1.1 正弦定理 第2课时 正弦定理（二） 探究点一 利用正弦定理判断三角形的形状 探究点二 利用正弦定理求最值或取值范围 探究点三 利用正弦定理证明问题 【学习目标】 1.熟记并能应用正弦定理的有关变形公式以及边角互化判断三角 形的形状； 2.能利用正弦定理、三角恒等变换、三角形面积公式解决较为复 杂的三角形问题； 3.通过边角解三角形及证明问题，培养逻辑推理素养和数学运算 素养. 知识点一 正弦定理的边角转换 1.边转换成角 ,,（为 外接圆的半径）. 2.角转换成边 ,,（为 外接圆的半径）. 知识点二 三角形的分类 1.根据最大角,可分为_____、_____和_____. 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 2.根据两边（或两角）的关系,又可分为等腰三角形或非等腰三角形. 等腰三角形的特例是等边三角形、等腰直角三角形. 【诊断分析】 在中,已知,你能推断出 是什么三角形吗？ 解：由，可得或 ,所以 或 ,故 是等腰三角形或直角三角形. 探究点一 利用正弦定理判断三角形的形状 例1（1） [2023·浙江宁波余姚中学高一期末]在中，内角 ， ，所对的边分别为,,，已知，则 的形 状是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 √ [解析] 由 及正弦定理， 得，则 ， ，， 或 ， 或，故 为等腰三角形或直角三角形.故选D. （2）已知的内角，，所对的边分别为，，， 的面积为，若，，则 的形 状是( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 √ [解析] 由 及正弦定理得， 因为 ，所以 ，所以，所以， 因为 ，所以，所以，所以， 所以，所以 . 因为 ，所以 ，所以 ， 又 ，所以，所以，所以 是直 角三角形.故选B. 变式（1） 在中，内角,,所对的边分别为,, ，若 ，且，角是锐角，则 的形状是( ) A.直角三角形 B.钝角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 [解析] 由，得 ，根据正弦定理得 ，所以，即 . 因为角A是锐角，所以 ,因为 ，且B，C都为 三角形的内角，所以，所以 为等边三角形．故选D. √ （2）[2024·黑龙江绥化绥棱一中高一月考]设的内角,, 所 对的边分别为，，，若，则 的形 状是( ) A.直角三角形 B.等边三角形 C.钝角三角形 D.三边比为 的三角形 √ [解析] 由及正弦定理得 ， 可得， 因为A，B为三角形的内角，所以 或 ， 即或. 同理可得， 或，或， 易得，所以 为等边三角形．故选B. ［素养小结］ （1）判断三角形的形状，可以从三边的关系入手，也可以从三个内 角的关系入手，从条件出发，利用正弦定理进行代换、转化，呈现 出边与边的关系或求出角与角的关系或大小，从而作出准确判断. （2）利用正弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通 过三角恒等变换得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时 要注意应用 这个结论.在等式变形中，一般两边不要 约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解. （3）判断三角形的形状，主要看是否是正三角形、等腰三角形、直 角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形” 与“等腰三角形或直角三角形”的区别. 探究点二 利用正弦定理求最值或取值范围 例2 [2024·浙江宁波高一期末] 在中，内角,, 所对的边分 别为,,，若，都是锐角，，，求 的周长的取 值范围. 解：由正弦定理得 ， 所以 ， 因为 , 所以 . 因为，都是锐角， ，所以 所以 ，所以，所以， 所以 的周长的取值范围为 . 变式 设锐角三角形的三个内角，，所对的边分别为， ， ，若，，则 的取值范围是( ) A. B. C. D. √ [解析] 在锐角三角形中，，则 ，又 ，所以 ，即. 综上 ，则. 因为， ，所以由正弦定理得， 得. 因为 ，所以，即， 所以 的取值范围为 .故选C ... ...
