第3节 向量的数量积讲义（含解析）-2024-2025学年高一下学期数学人教A版必修第二册

详解:∵ AB BC 2 ,向量 AB与 BC 的夹角为 120°, 第三节 向量的数量积 1 ∴ AB BC AB BC cos120 2 2 22 . 核心基础导学 【8】 2 2 【1】C 详解:如下图所示: 详解:由数量积的定义可知: a·e a e cos a,e 4 1 2 2 2 . 2 故答案为: 2 2 . 【9】 3 详解:因为 ABC , BDE 都是边长为 1的等边三角形, 所以 DBE BDE 60 , ABE 120 , DAE 30 AED 90 对于 A选项, AB与 BC 的夹角为 ABC A 在 ABE 中, AB BE 1 ,所以 , , ,为钝角, 错; 3 对于 B选项, AC 与 BA 的夹角为 BAC ,为钝角,B错; 所以 AE 3 ,所以 AD·AE AD · AE ·cos DAE 2 3 3 . 2 对于 CD选项, AC 与 BC 的夹角等于 ACB ,为锐角,C对 D错; 故答案为: 3 . 故选:C. 【10】 2 【2】C 详解:因为 a 4 , b 2 , a 和 b的夹角为 120°, 详解:对于任意得两个非零向量 a,b , a b= a b cos a,b , 所以 a 在 b方向上的投影数量为 a cosa,b 4 cos120 2 . 其中 a,b 0,π . 【11】 3b 若两个非零向量同向共线,则 a,b 0 , cos a,b 1 , a b= a b 0 5π,故 详解:因为 a 2 3 b , a,b , 6 A正确; 所以 a 在 b 上的投影向量为 若两个非零向量反向共线,则 a,b π , cos a,b 1 , a b a b 0 , b a 5π 故 B 正确; a cos a,b cos a,b b 2 3 cos b 3bb b 6 . π 若这两个非零向量的数量积是负的,则 cos a,b 0 , a,b , π2 ,故 【12 】 2e C 错误; 详解:依题意, a e | a | cos 3π 2 ,所以向量 a 在向量 上的投影向 e π 4 若两个非零向量的数量积是 0,则 cos a,b 0 , a,b , a,b 互相垂 2 量为 (a e)e 2 e . 直,故 D正确.故选: C. 【13】钝角三角形 【3】B 详解:因为 AB在 BC 方向上的数量投影为正,即 AB与 BC 的夹角为锐 详解:由数量积的定义知 a b | a || b | cos , 角,所以 ABC 为钝角,所以三角形为钝角三角形; 对于①,若 a∥b ,则 a b | a ||b |或 a b | a || b | , a b 0不一定成立,① 错误 对于②, a b b a 成立,②正确 对于③, a b c 与 a 共线, a b c 与 c共线,两向量不一定相等,③错 故答案为:钝角三角形 1 误 【14】 2 对于④, a b | a ||b | cos a b ,④正确故选:B 1 详解:根据题意: a , b为两单位向量,且 a b ,所以 a 在 b上的数 【4】C 2 详解:因为 a 、 b是单位向量, 1 a b 2 1 1 所以 a b 1 , a b a b cos a,b cos a,b 量投影为 a cos .故答案为: .,因为向量 a 与向量 b的 b 1 2 2 夹角未知,故 A、B 均错误, 【15】（1）12;（2）0. 若 a / /b ,则向量 a b 或 a b ,故 D错误; 详解:（1）因为 a 4 , b 2 , a 与 b的夹角为 120 , 根据平面向量的运算律可知 a b b a ,故 C正确;故选:C 【5】D 1 所以 a b a b cos120 4 2 4 详解:对 A, 0 c 0 ,故 A错误; 2 对 B,由于向量的数量积为数,所以向量不满足乘法的结合律,故 B错 2 2所以 a b a 2b a a b 2b 16 ( 4) 2 4 12 . 误; 对 C, a 0 0 ,故 C错误, （2）因为 a 4 , b 2 , a 与 b的夹角为 120 , 对 D,向量的数量积为数,故 0 b 0 正确.故选:D. a b a b cos120 4 2 1 所以 4 , 【6】（1） 20 ;（2） 0 ;（3） 10 3 ;（4） 10 2 . 2 1 详解:（ ）当 a∥b 时,若 a 与 b 同向,则 0 2 2 , 所以 2a b a 3b 2a 5a b 3b 2 4 2 5 4 3 2 2 0 . a b a b cos0 4 5 20 . 1 【16】 5 若 a 与 b 反向,则 180 , a b a b cos180 4 5 1 20 . 2 2 4 详解:因为 a 2b a b a 2b a b 1 2 a b ,所以 5 （2） a b 时, 90 , a b a b cos90 0 . 1 a b . 5 （3）当 a 与 b 的夹角为 30 时, a b a b cos30 4 5 3 10 3 . 2 【17】2 （4）当 a 与 b 的夹角为 135 时, 2详解:由已知 a b a a b a 10 , a b a b cos135 2 4 5 10 2 . 得 a b 6 ,故向量 a 在向量 b 上的投影为 2 【7】 2 1 2 a cos a,b a b a b 6 a 2 2 详解:（1）因为 BP BC ,所以 CP CB , a b b 3 ,故答案为: . 3 3 2 2 ... ...