(
课件网) 数学 北师大 必修1 1.2 集合间的基本关系 我们考察下面三个实例: 1．高一(1)班50位同学组成集合B,其中女同学组成集合A.集合A是集合B的一部分, 2.所有的矩形都是平行四边形.若用M表示矩形组成的集合,用P表示平行四边形组成的集合, 3.所有的有理数都是实数.因此有: 因此有:若a∈A,则a∈B. 则有:若a∈M,则a∈P. 若a∈Q,则a∈R. 一般地,对于两个集合A与B,如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素,即若a∈A,则a∈B, 我们就说集合A包含于集合B,记作A B 或集合B包含集合A,记作B A， 这时我们说集合A是集合B的子集. 比如,上面实例2就是M P. 显然,任何一个集合都是它本身的子集,即A A. 子集的定义 为了直观地表示集合间的关系,我们常用封闭曲线的内部表示集合,称为 Venn图. 图1-1直观地表示了实例1中集合A是集合B的子集, 图1-2表示实例3中集合Q是集合R的子集. 对于两个集合A与B,如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素,同时集合B中的任何一个元素都是集合A中的元素,这时,我们就说集合A与集合B相等(如图), 记作A=B. 例如,A={x |(x—7)(x+5)=0},B={一5,7},不难看出， A=B. 等集 即对于两个集合A与B,若A B,且B A,则A=B. 对于两个集合A与B,如果A B,并且A≠B, 我们就说集合A是集合B的真子集(如图), 记作A B(或B A). 真子集 读作“A真包含于B”(或“B真包含A”). 例如,{a,b} {a,b,c}; {x |x-2} {x |x3} · · · -2 3 0 N+ N Z Q R. 当集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A时, 记作A B(或B A). 例如,集合A={1,3,5},集合B={2,4,6}, 则A B（如图1-5); 集合A={1,3,5},集合B={5,7,9}, 则A B（如图1-6). 读作A不包含于集合B （B不包含集合A) 又如,集合{x|x≥9}与集合{X|X≤3}的关系,可以表示为{x|x≥9} {X|X≤3}(如图1-7); 数集的表示常借助于数轴. 又如,集合{x|x≥9}与集合{X|X≤12}的关系, 可以表示为{x|x≥9} {X|X≤12}(如图1-8); 我们规定:空集是任何集合的子集.也就是说,对于任何一个集合A,都有 A 例1某工厂生产的产品在质量和长度上都合格时,该产品才合格.若用A表示合格产品的集合,B表示质量合格的产品的集合,C表示长度合格的产品的集合,则下列包含关系哪些成立 A B,B A，A C,C A.试用Venn图表示这三个集合的关系. 解：由题意知,A B,A C,成立, Venn图表示如图1-9所示. (1)集合A是集合B的真子集，即A是B的子集，并且B中至少存在一个元素 A的元素； (2)子集包括真子集和相等两种情况； (3)空集 是任何 集合的真子集； 不是 说明： 非空 说说子集和真子集的区别？ (4)对于集合A,B,C,如果A B,B C,那么A___C; 如果A B,B C,那么A___C;如果A B,B C,那么A___C 易混符号 ①“ ”与“ ”： “ ”元素与集合之间是属于关系； “ ”集合与集合之间是包含关系。 如：1 N，—1 N，Φ R，{1} {1，2，3} ②{0}与Φ：{0}是含有一个元素0的集合， Φ是不含任何元素的集合。 如：Φ {0}。不能写成Φ={0}，Φ∈{0} 但Φ {Φ}这个是对的，此时的Φ是一个元素 a与{a}的区别 一般地，a表示一个元素，而{a}表示只有一个元素a的集合，因此有 (3)空集是集合中的特殊现象，A B包括A＝ 的情形容易漏掉，解题时要特别留意．(空集优先) 不能把“A B”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为当A= 时，A B，但A中不含任何元素；又当A=B时，也有A B，但A中含有B中所有元素，这两种情况都有A B. {a} {a，b，c}． a∈{a，b，c}， {1} {1,2,3}， 1∈{1,2,3},0∈{0}， 例2写出集合{0,1,2}的所有子集,并指出其中哪些是它的真子集. 解{0,1,2}的所有子集是: ;{0},{1},{2};{0,1},{0,2},{1,2};{0,1,2}.除了{0,1,2}以外,其余7个集合都是它的真子集. 小结:一个集合有n个元素，那么这个集合有2n个子集， ... ...
