4.1 指数 【题型1】n次方根 3 【题型2】根式与分数指数幂的互化 5 【题型3】实数指数幂的运算 6 【题型4】实数指数幂的综合运用 7 【题型5】有理数指数幂与根式的互化 8 【题型6】有理数指数幂及根式化简运算求值 9 一、n次方根 1.n次方根的定义 一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. 2.n次方根的性质 n为奇数n为偶数a∈Ra>0a＝0a<0x＝x＝±x＝0x不存在 3.根式 式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数. 4.根式的性质 (1)负数没有偶次方根. (2)0的任何次方根都是0，记作＝0. (3)①当n为奇数时＝a(n∈N*，且n>1). ②当n为偶数时＝|a|＝(n∈N*，且n>1). 二、根式与分数指数幂的互化 (1)规定正数的正分数指数幂的意义是：(a>0，m，n∈N*，且n>1). (2)规定正数的负分数指数幂的意义是：(a>0，m，n∈N*，且n>1). (3)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义. (4)整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即： ①aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)； ②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)； ③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q). 拓展：①＝ar－s(a>0，r，s∈Q)； ②(a>0，b>0，r∈Q). 三、实数指数幂的运算 1.无理数指数幂：一般地，无理数指数幂aα(a>0，α为无理数)是一个确定的实数. 2.实数指数幂的运算法则 (1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈R). (2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈R). (3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R). (4)拓展：①＝ar－s(a>0，r，s∈R)， ②(a>0，b>0，r∈R). 1.(1)对于()n＝a，若n为奇数，则a∈R；若n为偶数，则a≥0. (2)()n与意义不同，比如＝－3＝3，而没有意义，故()n≠. (3)当a≥0时，()n＝；当a<0且n为奇数时，()n＝；当a<0且n为偶数时，对于要注意运算次序. 2.(1)分数指数幂不可理解为个a相乘，它是根式的一种写法. (2)正数的负分数指数幂总表示正数，而不是负数. 3.特别强调底数a>0，b>0. 【题型1】n次方根 求下列各式的值： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）； （2）10； （3）； （4）． 【分析】利用根式的运算法则化简求解即可． 【解答】解：（1）； （2）； （3）； （4）． 方法点拨 正确区分与()n (1)中的a可以是全体实数的值取决于n的奇偶性. (2)()n已暗含了有意义，根据n的奇偶性可知a的范围. 【变式1】求下列各式的值： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【变式2】求下列各式的值： （1）；（2）；（3）；（4）． 【变式3】（2023 泉州开学）化简：（1） ；（2） ； （3） ． （4） ． 【题型2】根式与分数指数幂的互化 （2025 扬州模拟）已知，则化为 A． B． C． D． 【答案】 【分析】利用根式的运算性质即可得出． 【解答】解：原式． 故选：． 方法点拨 根式与分数指数幂互化的规律 (1)根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子. (2)如果根式中含有多重根号，要由里向外用分数指数幂写出. 【变式1】（2025 广西开学）下列根式与分数指数幂互化中正确的是 A． B． C． D． 【变式2】（2024秋 沧州月考）设，则的分数指数幂形式为 A． B． C． D． 【变式3】（2024秋 黄浦区期中）根式写成指数幂形式为 ． 【题型3】实数指数幂的运算 （2025春 宁夏期末）的值是 A．3 B． C．9 D．81 【答案】 【分析】利用有理数指数幂运算法则求解． 【解答】解：． 故选：． 方法点拨 关于指数式的化简、求值问题 (1)无论是化简还是求值，一般的运算顺序是先乘方，再乘除，最后加减. (2)若式子中含有根式，一般把底数中的根式化为指数式，指数中的根式可以保留直接运算. 【变式1】（2025春 碑林区期末）计算 8 ． 【变式2】（2025 忻城县开学）计算： ． 【变式3】（2024秋 湖南期中）计算： A． ... ...
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