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课件网) 4.2 随机变量 4.2.4 随机变量的数字特征 第2课时 离散型随机变量的方差 探究点一 离散型随机变量的方差 探究点二 常用分布的方差 探究点三 方差的实际应用 ◆课前预习 ◆课中探究 ◆课堂评价 ◆备课素材 【学习目标】 1.理解离散型随机变量的方差及标准差的概念； 2.掌握方差的性质及两点分布、二项分布的方差； 3.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题. 知识点一 离散型随机变量的方差、标准差及性质 1.如果离散型随机变量 的分布列如下表所示. … … … … 因为的均值为，所以 _____ _____，能够刻画 相对于均值的离散程度 （或波动大小），这称为离散型随机变量的方差.离散型随机变量 的方差 也可用表示.一般地，称为离散型随机变量 的_____，它也可 以刻画一个离散型随机变量的离散程度（或波动大小）. 标准差 2.（1）设，为常数，则 _____. （2）___（其中 为常数）. 0 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）离散型随机变量的方差越大,随机变量越不稳定.( ) √ （2）离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离于均值的平均程度.( ) √ （3）如果 是离散型随机变量,且,那么 , .( ) √ （4）离散型随机变量的方差与标准差的单位相同.( ) × [解析] 方差的单位是随机变量单位的平方，标准差与随机变量本身有相同的单位. 知识点二 服从两点分布和二项分布的随机变量的方差 1.若服从参数为的两点分布,则 _____. 2.若服从参数为,的二项分布,即,则 _____. 探究点一 离散型随机变量的方差 例1 甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方 投篮，第一次由甲投.已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为， ，在前3次投 篮中，乙投篮的次数为 ，求随机变量 的分布列、期望和方差. 解：依题意知， 的取值范围为 ， 则，， ， 所以 的分布列为 0 1 2 故 ， . 变式（1） [2023·新疆乌鲁木齐高二期中]已知随机变量 的分布列如下表所示， 设，则 的值为( ) 0 1 A A.5 B. C. D. [解析] 由已知可得 ，所以 ，又 ，所以 .故选A. （2）若随机变量的分布列为，，若 ，则 的最小值为( ) A A.0 B.1 C.4 D.2 [解析] 由分布列的性质，得，则.， ，则 ，,故当时， 取得最小值0.故选A. ［素养小结］ 求离散型随机变量的方差的方法： （1）根据题目条件先求分布列进而求出均值； （2）依据方差公式求方差，方差也可以应用公式 进行求解. 注意：当分布列中的概率值有未知数时，应先由分布列的性质求出未知数再求 方差． 探究点二 常用分布的方差 例2（1） 若离散型随机变量的分布列如下表所示，则__， __. 0 1 [解析] 由，解得或（舍去），所以 的分布列为 0 1 因为服从参数为的两点分布，所以， . （2）为促进居民消费，某超市准备举办一次有奖促销活动，顾客购买满一定 金额商品后即可抽奖.在一个不透明的盒子中装有10个质地均匀且大小相同的小 球，其中有5个红球，3个白球，2个黑球，搅拌均匀.每次抽奖都从箱中随机摸 出3个球，若摸出的全是红球，则获得60元的返金券.若某顾客有6次抽奖机会， 设顾客抽取6次后最终可能获得的返金券的金额为元，则 的方差为_____. 1650 [解析] 由题知摸出的3个球都是红球的概率.设中奖的次数为 ，则 ， ， . 变式（1） 已知随机变量，满足， ，若 ，则 ( ) C A.3 B. C.4 D. [解析] ， ， ，解得，即 , ，又随机变量，满足 , ,故选C. （2）[2023·四川宜宾高二期末]若随机变量，，则 ( ) D A.1 B.2 C.4 D.8 [解析] 因为，所以，又 ，所以 .故选D. ［素养小结］ （1）如果随机变量服从参数为的两点分布，那么其方差 . （2）如果随机变量服从参数为,的二项分布，即 ，那么其方差 ，计算时可 ... ...
