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课件网) 4.2.1 线段垂直平分线及其性质 第4章 图形的轴对称 1.认识线段垂直平分线，并掌握其性质. 2.能运用轴对称变换解决最短路径问题. 市政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A、B、C之间修建一个购物中心，试问，该购物中心应建于何处才能使得它到三个小区的距离相等 任务一：认识线段垂直平分线，并掌握其性质. 活动1：完成下列操作，并回答问题. 操作：在纸上作一条线段AB，对折使点A、B重合，将纸展开，记折痕为直线MN. 问题：(1)形成的折痕直线MN与线段AB有什么关系？ MN⊥AB，AO=BO 垂直并且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线. 活动2：用刻度尺和三角板画出线段AB的垂直平分线l，在直线l上任取一些点P1，P2，P3，…分别量一量点P1，P2，P3，… 到点A 与点B 的距离，你有什么发现？ A B l P1 P2 P3 P1A ____P1B P2A ____ P2B P3A ____ P3B ＝ ＝ ＝ 猜想：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 证明猜想： 已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P 在l 上． 求证：PA =PB． 证明：∵ l⊥AB， ∴ ∠PCA =∠PCB． 又 AC =CB，PC =PC， ∴ △PCA ≌△PCB（SAS）． ∴ PA =PB． P A B l C 线段垂直平分线的性质： 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 应用格式：∵AC=BC，PC⊥AB， P是l上任意一点，∴PA=PB． P A B l C 活动小结 例1 如图，在△ABC中，DE垂直平分AC，交AC于E，交BC于D，连接AD， 若AE＝6cm，求△ABC的周长与△ABD的周长的差。 解：因为DE垂直平分AC，所以AD＝CD，CE＝AE＝6cm， 所以AC＝12cm， 又△ABC的周长＝AB＋AC＋BC ＝AB＋AC＋BD＋CD ＝AB＋AC＋BD＋AD △ABD的周长＝AB＋BD＋AD 所以△ABC的周长－△ABD的周长＝AC＝12cm。 练一练 1.下列说法正确的有( ) ①P是线段AB上的一点，直线l经过点P且l⊥AB，则l是线段AB的垂直平分线； ②直线l经过线段AB的中点P，则l是线段AB的垂直平分线； ③经过线段AB的中点P且垂直于线段AB的直线l是线段AB的垂直平分线. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 B 线段的垂直平分线必须满足两个条件： 1.经过线段的中点； 2.垂直于这条线段. 2.已知:如图，在ΔABC中，边AB，BC的垂直平分线交于P. 求证：PA=PB=PC. 证明：连接PA，PB，PC. ∵点P在AB，AC的垂直平分线上， ∴PA=PB，PA=PC， ∴PA=PB = PC. B C A P 结论： 三角形三边垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等. 现在你能回答讲课前提出的问题吗？ 你知道购物中心应该建在何处了吗？ 任务二：运用轴对称变换解决最短路径问题. 活动：我们知道“两点之间，线段最短”，请同学们利用所学的轴对称知识解决下列情景问题. 情景：有A，B两个蓄水池，为了方便灌溉作物，要在河边l建一个抽水站，江河水送 到A、B两池，该站建在河边哪一点，可使所修的渠道最短？ 问题1：如图，假设两蓄水池A,B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，可使所修的渠道最短？ l B C 连接AB，与l相交于点C，根据两点之间，线段最短，可知点C即为所求. A 问题2：如图，若A，B两个蓄水池都在河流a的同侧，如何在l上找到一个点，可使所修的渠道最短？说出你的作法，在图中作出最近的路线，并说明作图的道理. 作法： (1)过点B作直线l的垂线BC，垂足为C； (2)延长CB至B'，使CB'=CB； (3)连接AB'，与直线l交于点P. 点P就是所求作的直线l上使AP+BP的值最小的点. A B l B ′ P 理由：l是BB'的垂直平分线，所以 PB=PB'，根据“两点之间线段最短”，可知当A，P，B'在一条直线上时，AP+PB'的值最小，也就是AP+PB的值最小. C 练一练 在OA，OB上求作点M，N，使PM＋MN最小． 解：先作出点P关于OA的对称点P′， 过点P′作垂线垂直于 ... ...
