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课件网) 4.2.2 线段垂直平分线的判定 第4章 图形的轴对称 1.掌握线段垂直平分线的判定方法. 2.能用尺规作线段的垂直平分线. 任务一：掌握线段的垂直平分线的判定方法. 活动1：在纸上取一点P，如果PA=PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线MN上？为什么？小组交流探讨. A B M N O · P 当点P在线段AB上时，由PA=PB，可知点P与点O重合. 当点P在线段AB外时，连接PO、PA、PB， 由SSS得△POA ≌△POB. 所以∠AOP = ∠BOP =90°，即PO⊥AB. 综上所述，点P在线段AB的垂直平分线上. 线段垂直平分线的判定：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上 活动2：应用所学知识，解决下列问题. 1.如图，AB=AC，DB=DC，E是AD上一点，问：BE和CE会相等吗？为什么？ 因为AB＝AC，DB＝DC， 由到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上可知 AD是线段BC的垂直平分线， 因为点E在AD上， 由线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知 BE=CE. 2.如图，P为∠MON平分线上一点，PA⊥OM于A，PB⊥ON于B。求证：OP垂直平分AB. 一定要证明直线上有两点到线段两个端点的距离相等 判定线段垂直平分线的方法有两种：一是判定方法，二是定义法。 证(判定法)：∵P为∠MON平分线上一点，∴∠AOP=∠BOP. ∵PA⊥OM，PB⊥ON，∴∠PAO=∠PBO=90°. 又∵OP=OP，∴△AOP≌△BOP（AAS）， ∴PA=PB，OA=OB， ∴点P，点O均在AB的垂直平分线上， ∴OP垂直平分AB. 2.如图，P为∠MON平分线上一点，PA⊥OM于A，PB⊥ON于B。求证：OP垂直平分AB. 证(定义法)：∵P为∠MON平分线上一点，PA⊥OM，PB⊥ON， ∴∠AOP=∠BOP，∠PAO=∠PBO=90°， 在△PAO和△PBO中， ∴△PAO≌△PBO（AAS），∴OA=OB. 设OP与AB相交于点C，在△AOC和△BOC中， 所以△AOC≌△BOC（SAS）， 所以∠ACO=∠BCO=90°，AC=BC， 所以OP⊥AB，所以OP垂直平分AB. C 1.如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分边AC和边BC，交边AB于M，N两点，DM与EN相交于点F.求证：点F在AB的垂直平分线上. 证明：连接AF，CF，BF， 因为DM垂直平分边AC，所以AF＝CF， 因为EN垂直平分边BC，所以BF＝CF， 所以AF＝BF， 所以点F在AB的垂直平分线上. 练一练 任务二：学会尺规作线段的垂直平分线. 活动1：如图，阅读如下用尺规作已知线段AB的垂直平分线的作法，回答问题. ①分别以点A，B为圆心，以大于AB 的长为半径作弧，两弧交于M，N两点； ②过M，N两点作直线MN. 直线MN就是线段AB的垂直平分线. 作法 A B 问题1：为什么必须以大于AB的长为半径作弧？上述作法作线段垂直平分线的依据是什么？组内交流探讨. 使两弧有交点 线段垂直平分线的判定方法 A B M N 用尺规作线段垂直平分线的方法 作出到这条线段的两个端点距离相等的两个点, 这两点所确定的直线就是此线段的垂直平分线. 问题2：用尺规作出线段AB的垂直平分线，并用折纸的方法检验你作出的直线MN是不是线段AB的垂直平分线. 归纳总结 活动2：利用基本作图“作一条线段的垂直平分线”可以作出过已知线段的中点的垂线，如图，已知直线l，要过一点P作直线l的垂线，点P与直线l的位置关系可能是什么？ 小组讨论，解决如下作图问题，并说说你的作图思路： 1.如图①已知直线l和l上一点P，怎样过点P作直线l的垂线？ 2.如图②已知直线l和l外一点P，怎样过点P作直线l的垂线？ l · P l l · P 图① 图② 作法: ①以点P为圆心，任意长为半径作弧，与直线l相交于点A、B； ②作线段AB的垂直平分线CD，直线CD就是过点P的直线l的垂线. P l · A B C D 作法: ①以点P为圆心，以大于点P到直线l的距离的线段长为半径画弧，交直线l于点A、B； ②作线段AB的垂直平分线CD，直线CD就是过P点的直线l的垂线. · P A B l C D 活动小结 基本作图 ... ...
