(课件网) 4.3 角的平分线 第4章 图形的轴对称 1.了解角的轴对称性，掌握角平分线的性质与判定. 2.会用尺规作角的平分线. 任务一：学会用尺规作角平分线. 活动1：画一个角，然后将其剪下来，标为∠BAC， 将∠BAC对折，记折痕为AD，你发现了什么？量一量∠DAB和∠DAC，你还发现了什么？ B A C 角是轴对称图形，角平分线所在直线是它的对称轴. D 活动2：小组交流，解决下列问题，探索用尺规作角平分线. 问题1：下图是一个平分角的仪器，其中AB =AD，BC =DC，将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是∠DAB的平分线.你能说明它的道理吗？ E C D B A 其依据是SSS，两全等三角形的对应角相等. B M N C O 作法: (1) 以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N. (2)分别以点M，N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C. (3)画射线OC.射线OC即为所求. A 问题2：从利用平分角的仪器画角的平分线中，你受到哪些启发？已知：∠AOB，如何利用直尺和圆规作这个角的平分线？说说你的作图思路. B O A 1.如图，已知∠AOB，求作：∠AOM=∠AOB. 作法：(1)以点O为圆心，以适当长为半径作弧， 交OA于点E，交OB于点F； (2)分别以点E，F为圆心，以大于EF的长为半 径作弧，两弧在∠AOB的内部交于点C； (3)画射线OC； (4)同理，作∠AOC的平分线OM.∠AOM即为所求作的角 练一练 任务二：探索并证明角平分线的性质定理. 活动1：如图，任意作一个角∠AOB，作出∠AOB的平分线OC.在OC上任取一点P，过点P画出OA，OB的垂线，分别记垂足为D、E，测量PD，PE并作比较. 结论：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. P A O B C D E (1)通过以上测量，你得到什么结论？在OC上再取 几个点试一试. (2)你能通过严格的逻辑推理证明这个结论吗？ 如图，∠AOC= ∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E. 求证：PD=PE. P A O B C D E 证明： ∵ PD⊥OA，PE⊥OB， ∴ ∠PDO= ∠PEO=90 °. 在△PDO和△PEO中， ∠PDO= ∠PEO， ∠AOC= ∠BOC， OP= OP， ∴ △PDO ≌△PEO(AAS). ∴PD=PE. 验证结论：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 2.应用格式： ∵OP 是∠AOB的平分线， ∴PD= PE. PD⊥OA，PE⊥OB， B A D O P E C 活动小结 1.应用该定理所具备的条件： 推理的理由有三个， 必须写完全，不能少了任何一个. （1）角的平分线；（2）点在该平分线上. 活动2：写出上面角平分线性质定理的逆命题.这个逆命题是真命题吗？如果是真命题请写出已知、求证，并给出证明. 角的平分线的性质定理： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 逆命题:角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上． 已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE. 求证：点P在∠AOB的角平分线上. 证明： 作射线OP， ∴点P在∠AOB 角的平分线上. OP=OP（公共边）， PD= PE（已知 ）， ∵PD⊥OA，PE⊥OB. ∴∠PDO=∠PEO=90°， ∴Rt△PDO≌Rt△PEO（ HL）. ∴∠AOP=∠BOP， 角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 应用所具备的条件： （1）位置关系：点在角的内部； （2）数量关系：该点到角两边的距离相等. 书写格式： ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE. ∴点P 在∠AOB的平分线上. 活动小结 例1 如图，OD平分∠EOF，在OE，OF上分别取点A，B，使OA=OB，P为OD上一点，PM⊥BD，PN⊥AD，垂足分别为M，N.求证：PM=PN. 证明：因为OD平分∠EOF，所以∠BOD=∠AOD. 在△BOD和△AOD中， 所以△BOD≌△AOD（SAS）. 所以∠BDO=∠ADO， 所以DO平分∠BDA. 又因为P为DO上一点，且PM⊥DB，PN⊥DA，所以PM=PN. 例2 ... ...
