15.3　等腰三角形 同步练习（5课时，学生版+答案版）2025-2026学年数学人教版（2024）八年级上册

第2课时　含30°角的直角三角形的性质 稳基础 知识点 含30°角的直角三角形的性质 1(3分)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AB=10 cm,则AC的长度为(C) A.10 cm B.20 cm C.5 cm D.15 cm 知识链接 在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.如图,在Rt△ABC中,∠A=30°,则BC=AB. 2(3分)如图是某商场一楼与二楼之间的电梯示意图.∠ABC=150°,BC的长是10,则乘电梯从点B到点C上升的高度h是(D) A.7.5 B.5 C.10 D.5 3(3分)若等腰三角形的顶角为30°,腰长为8,则这个等腰三角形的面积为(B) A.8 B.16 C.24 D.32 4(3分·2025·大连甘井子区期中)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=2,点D是AB的中点,DE⊥AC,则DE的长度是(B) A.0.5 B.1 C.2 D.4 5(3分)如图,在△ABC中,∠C=90°,∠BDC=30°,AD=2BC,则∠A=　15°　. 巧提升 6(3分)如图,△ABC是等边三角形,点D是BC边上任意一点,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F.若BC=6,则AE+AF=　9　. 易错点 在题目中无图时,图形可能存在多种情况,由于忽略分类讨论而出错 7(3分·易错题)已知等腰三角形ABC中,AD⊥BC于点D,且AD=BC,则等腰三角形ABC的底角的度数为　45°或15°或75°　. 8(7分)在△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=2,以AB为边作等边△ABD,点E为线段AD的中点,连接CE,请画出图形,并求线段CE的长. 【解析】∵在△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=2, ∴AB=2BC=4, ∵△ABD是等边三角形, ∴AD=BD=AB=4,∠DAB=60°, ①如图所示: ∵E为AD的中点, ∴AE=AD=2, ∵∠BAC=30°,∠DAB=60°, ∴∠CAE=90°, 在△CAE和△ACB中,, ∴△CAE≌△ACB(SAS), ∴CE=AB=4; ②如图所示: ∵△ABD是等边三角形,∠ACB=90°, ∴CD=CB=2,∠DAC=∠BAC=30°,∠D=60°, ∵E为AD的中点, ∴ED=AD=2,∴ED=CD, ∴△CDE是等边三角形, ∴CE=2. 综上,CE的长为4或2. 培素养 9(12分·几何推理)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AD是BC边上的中线,且BD=BE,CD的垂直平分线MF交AC于F,交BC于M,MF的长为2. (1)求∠ADE的度数; (2)△ADF是等边三角形吗 为什么 (3)求AB的长. 【解析】(1)∵在△ABC中,AB=AC, ∠BAC=120°,∴∠B=∠C=×(180°-∠BAC)=30°,∵BD=BE, ∴∠BDE=∠BED=×(180°-∠B)=75°, ∵在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线, ∴AD⊥BC,∴∠ADB=90°, ∴∠ADE=∠ADB-∠BDE=15°; (2)△ADF是等边三角形. 理由:∵CD的垂直平分线MF交AC于F,交BC于M, ∴DF=CF, ∵∠C=30°, ∴∠FDC=∠C=30°, ∴∠AFD=∠C+∠FDC=60°, ∵AD⊥BC, ∴∠ADC=90°, ∴∠DAF=90°-∠C=60°, ∴∠ADF=60°,即∠FAD=∠ADF=∠AFD=60°, ∴△ADF是等边三角形; (3)∵直线MF为CD的垂直平分线, ∴∠FMC=90°, ∵∠C=30°,MF=2, ∴FC=2MF=4, ∵DF=FC, ∴DF=4, ∵△ADF是等边三角形, ∴AF=DF=4, ∴AC=AF+CF=4+4=8, ∵AB=AC, ∴AB=8.第3课时　等腰三角形与全等的综合 稳基础 知识点 等腰三角形与全等的综合 1(3分)如图,在△ABC中,AB=AC,BF=CD,BD=CE,∠FDE=65°,则∠A的度数是(D) 　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.45° B.70° C.65° D.50° 2(3分)如图,D为△ABC内一点,CD平分∠ACB,BE⊥CD,垂足为D,交AC于点E,∠A=∠ABE.若AC=7,BC=4,则BD的长为 　. 3(6分)下面是证明等腰三角形判定定理的两种添加辅助线的方法,选择其中一种完成证明. 等腰三角形判定定理:有两个角相等的三角形是等腰三角形.已知:如图,在△ABC中,∠B=∠C,求证:AB=AC. 方法一,证明:如图,作∠BAC的平分线交BC于点D. 方法二,证明:如图,作AD⊥BC于点D. 【解析】选择方法一:∵AD平分∠BAC, ∴∠BAD=∠CAD, 在△ABD和△ACD中,, ∴△ABD≌△ACD(AAS),∴AB=AC. 选择方法二:∵AD⊥BC, ∴∠ADB=∠ADC=90°, 在△ABD和△ACD中,, ∴△ABD≌△ACD(AAS), ∴AB=AC. 4(6分)如图,已知点D,E在BC上,且A ... ...