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课件网) 4.2.2 线段垂直平分线的判定 1.掌握线段垂直平分线的判定方法。 2.能用尺规作线段的垂直平分线。 线段垂直平分线的性质定理： 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。 写出上面定理的逆命题，它是真命题吗？ 逆命题：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。 验证命题：已知：如图，PA =PB．求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上。 证明：过点P 作AB 的垂线PC，垂足为点C， 则∠PCA =∠PCB =90°。 在Rt△PCA 和Rt△PCB 中，PA =PB，PC =PC， ∴Rt△PCA≌Rt△PCB（HL），∴AC =BC。 又PC⊥AB，∴点P 在线段AB 的垂直平分线上。 P A B C 线段垂直平分线的判定： 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。 应用格式： ∵PA =PB，∴点P 在AB 的垂直平分线上． 作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上. P A B 例1 如图，P为∠MON平分线上一点，PA⊥OM于A，PB⊥ON于B。求证：OP垂直平分AB。 证：∵P为∠MON平分线上一点，∴∠AOP=∠BOP。 ∵PA⊥OM，PB⊥ON，∴∠PAO=∠PBO=90°。 又∵OP=OP，∴△AOP≌△BOP（AAS）， ∴PA=PB，OA=OB， ∴点P，点O均在AB的垂直平分线上， ∴OP垂直平分AB。 用判定方法判定一条直线是线段的垂直平分线时，一定要证明直线上有两点到线段两个端点的距离相等。 阅读课本P104例2尺规作图步骤，尝试动手画图，用尺规作已知线段AB的垂直平分线。 A B M N 问题1：画弧的半径为什么要大于AB的长？ 问题2：为什么这样作出的直线EF，就是线段AB的垂直平分线呢？ 使两弧有交点 方法总结：我们也可以用这种方法确定线段的中点. 例2 如图，某城市规划局为了方便居民的生活，计划在A，B，C三个住宅小区之间修建一个购物中心，试问：该购物中心应建于何处，才能使得它到三个住宅小区的距离相等？ A C B 解：如图，连接AB，BC， 分别作AB，BC的垂直平分线DE，GF， 两直线交于点M， 则点M就是所要确定的修建购物中心的位置。 例3 已知：直线l和l上一点P，求作：过点P的直线l的垂线。 作法: ①以点P为圆心，任意长为半径作弧，与直线l相交于点A、B； ②作线段AB的垂直平分线CD，直线CD就是过点P的直线l的垂线。 P l · A B C D 变式：已知：直线l和l外一点P，求作：过点P的直线l的垂线。 作法: ①以点P为圆心，以大于点P到直线l的距离的线段长为半径画弧，交直线l于点A、B； ②作线段AB的垂直平分线CD，直线CD就是过P点的直线l的垂线。 · P A B l C D 结论：基本作图“过一点P作一条直线的垂线”的方法 无论点P是在直线上还是直线外，都是先设法在直线l上作出一条线段AB，并且使点P到线段AB两端的距离相等.再利用基本作图“作线段AB的垂直平分线”，那么这条直线既经过点P，又与直线l垂直. 1．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC＞BC．用尺规在边AC上确定一点P，使点P到点A、点B的距离相等，则符合要求的作图痕迹是（ ）A. B. C. D. A 2.如图，AC=AD，BC=BD，则有（ ） A. AB与CD互相垂直平分 B. CD垂直平分AB C. AB垂直平分CD D. CD平分∠ACB C 3.如图，已知线段AB，求作线段AB的中点C(保留作图痕迹，不要求写作法). 作法：(1)如图所示, 分别以点A，B为圆心，以大于 AB一半的长为半径作弧，两弧交于M，N两点； (2)作直线MN,交线段AB于点C,则点C就是线段 AB的中点。 A B M N C 回顾本节课内容，回答下列问题： 1.用判定方法判断直线是线段的垂直平分线要注意什么？ 2.过一点如何作直线的垂直平分线？ ... ...
