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课件网) 4.3 角的平分线 1.了解角的轴对称性，掌握角平分线的性质定理。 2.能利用角平分线性质定理解决几何图形中的问题。 3.会用尺规作角的平分线。 想一想：不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角，你都有什么办法呢？ 对折 O B C A 思考：再打开纸片，看看折痕与这个角有何关系？ 通过动手操作，我们可以发现：角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴. 阅读课本P106尺规作角的平分线的步骤，尝试动手画图，用尺规作已知∠AOB的角平分线。 想一想：为什么OP是角平分线呢？请尝试说明理由。 解：连接PM，PN，在△OMP和△ONP中， OM=ON， MP=NP， OP=OP， 因为△OMP≌△ONP,（SSS） 所以∠MOP=∠NOP，即OP平分∠AOB. B M N C O A 动手操作：在角平分线AC上任取一点P，过点P作垂足分别为点M，N，用圆规比较PM与PN的大小，你有什么发现？ 由此，你能得到什么结论？在AC上另取一点Q,试一试，你能得出同样的结论吗？ P A O B C M N PM=PN 结论：角平分线上的点到角两边的距离相等. 讨论：在角的内部，到角两边距离相等的点是否在角的平分线上？ 已知：如图，PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分别是点M，N，PM＝PN。 求证：点P在∠AOB的平分线上。 证：如图，连接OP， ∵PM⊥OA，PN⊥OB，∴∠PMO＝∠PNO＝90°。 在Rt△PMO和Rt△PNO中，， ∴Rt△PMO≌Rt△PNO(HL)， ∴∠POA＝∠POB， ∴点P在∠AOB的平分线上。 角平分线的性质定理： 角平分线上的点到角两边的距离相等；反之，角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。 例1 如图，P为∠AOB内部的一点，PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别是点E，F，且PE＝PF。Q是射线OP上的任意一点，QM⊥OA，QN⊥OB，垂足分别是点M，N。QM与QN相等吗？为什么？ 解：∵QM＝QN，理由如下： ∵PE⊥OA，PF⊥OB，PE＝PF， ∴OP是∠AOB的平分线。 ∵点Q在射线OP上，QM⊥OA，QN⊥OB， ∴QM＝QN。 例2 如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BD=2CD，点D到AB的距离为5.6cm，求BC的长。 解：如图，过点D作DE⊥AB于点E。 ∵∠C=90°，AD平分∠CAB， 点D到AB的距离为5.6cm， ∴CD=DE=5.6cm。 又∵BD=2CD，∴BD=2×5.6=11.2（cm）。 ∴BC=CD+BD=5.6+11.2=16.8（cm）。 例3 如图：已知OA和OB两条公路，以及C、D两个村庄，建立一个车站P，使车站到两个村庄距离相等即PC=PD，且P到OA，OB两条公路的距离相等。 分析：作∠AOB的角平分线和线段CD的垂直平分线，它们的交点为P点． 解：连接CD，作出CD的垂直平分线； 作出∠AOB的角平分线交CD垂直平分线于一点； 交点即为P点. P 练一练 角的平分线 1.如图，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB，∠1=∠2，且AC=6cm，那么线段BE是△ABC的 ，AE+DE= cm. 6 A B C E D 1 2 解：因为∠1=∠2， 所以线段BE是△ABC的角平分线. 因为∠C=90°，DE⊥AB，∠1=∠2， 所以ED=EC， 所以AE+DE=AE+EC=AC=6cm. × 1.判断正误，并说明理由： （1）如图，P在射线OC上，PE⊥OA，PF⊥OB，则PE=PF. 解：错误，缺少∠AOP=∠BOP，无法得到PE=PF. A O B P E F 解：错误，当两个三角形全等才能得到PE=PF. （2）如图，P是∠AOB的平分线OC上的一点，E、F分别在OA、OB上，则PE=PF. × A O B P E F √ （3）如图，在∠AOB的平分线OC上任取一点P，PE⊥OA，PE=3cm，则P到OB的距离为3cm. A O B P E 解：作PF⊥OB交OB于点F， 由题意知，PE⊥OA，PE=3cm， 因为P在∠AOB的平分线上，且PE⊥OA，PF⊥OB， 所以PE=PF=3cm. 所以P到OB的距离为3cm. F 2.如图所示，P为△ABC外部一点，D、E分别在AB、AC的延长线上，若点P到BC、BD、CE的距离都相等，则关于点P的说法最佳的是（ ） A．在∠DBC的平分线上B．在∠BCE的平分线上C．在∠BAC的平 ... ...
