4.4.1 等腰三角形的性质 课件(共14张PPT)2025-2026学年青岛版（2024）初中数学八年级上册

(课件网) 4.4.1 等腰三角形的性质 1.理解并掌握等腰三角形的性质，并利用其解决相关问题。 如图，拿出一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它打开，得到的△ABC有什么特点？ AB＝AC，△ABC是等腰三角形 把剪出的等腰△ABC沿折痕对折，那么△ABC是轴对称图形吗？ 是轴对称图形， 由于AB＝AC，将纸片对折，使得腰AB与AC重合，且折痕AD两旁的图形能够完全重合，因此等腰△ABC是轴对称图形。 在图中，有哪些相等的线段和角？线段AD有什么特殊性？ AB＝AC，BD＝CD，AD＝AD ∠B＝∠C，∠BAD＝∠CAD，∠ADB＝∠ADC， AD是△ABC底边BC上的中线 AD是∠BAC的角平分线 AD是△ABC底边BC上的高 交流讨论：经过折叠，折痕AD把△ABC分割成两个全等三角形。类似地，把△ABC分割成两个全等三角形也可以通过作辅助线的方法实现。如何作辅助线呢？ 在△ABC中，AB＝AC，作底边BC的中线AD。 在△ABD和△ACD中，， ∴△ABD≌△ACD(SSS)。 ∴∠B＝∠C，还可得∠BAD＝∠CAD，AD⊥BC。 也可作辅助线∠BAC的平分线或AD⊥BC，课后证明一下。 等腰三角形的性质定理： 1.等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)。 2.等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高互相重合(简写成“三线合一”)。 例1 如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E在BC上，且AD=AE。 求证：BD=CE。 证：如图，作AF⊥BC，垂足是点F。 ∵AB＝AC，AF⊥BC， ∴AF是底边BC上的中线， ∴BF＝CF。 同理DF＝EF。 ∴BF－DF＝CF－EF， ∴BD＝CE。 F 例2 如图，在△ABC中，AB = AC，点D在AC上，且BD=BC=AD。求△ABC各角的度数。 解：∵AB=AC，BD =BC =AD， ∴∠ABC=∠C =∠BDC，∠A=∠ABD(等边对等角)。 设∠A=x，则∠BDC=∠A +∠ABD=2x， 从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x。 于是在△ABC中,有:∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，解得x=36°， ∴在△ABC中，∠A=36°，∠ABC=∠C=72°。 练一练 1.如图，以△ABC的顶点B为圆心，BA长为半径画弧，交BC边于点D，连接AD。若∠B=40°，∠C=36°，则∠DAC的大小为_____°。 34 分析：根据三角形的内角和得出 ∠BAC=180°-∠B-∠C=104°， 根据等腰三角形两底角相等得出 ∠BAD=∠ADB=（180°-∠B）÷2=70°， 进而根据角的和差得出∠DAC=∠BAC-∠BAD=34°。 1.判断下列说法是否正确： ①等腰三角形的顶角一定是锐角. ②等腰三角形的底角可能是锐角或者直角、钝角都可以. ③钝角三角形不可能是等腰三角形. ④等腰三角形的顶角平分线一定垂直底边. ⑤等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合. ⑥等腰三角形底边上的中线一定平分顶角. × × × × √ √ 2.如图，在△ABC中，AC=AD=DB，∠C=70°，则∠CAB的度数为( ) A．75° B．70° C．40° D．35° A 3.如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D。若AB=6，CD=4，则△ABC的周长是( ) A.10 B.14 C.16 D.20 D 4.如图，在△ABC中，点D在BC边上，BD=AD=AC，E为CD的中点．若∠B=35°，求∠CAE的度数。 解：∵BD=AD，∠B=35°，∴∠B=∠BAD=35°， ∴∠ADC=2∠B=70°， ∵AD=AC，点E是CD中点， ∴AE⊥CD，∠C=∠ADC = 70°， ∴∠CAE=90°–70°=20°。 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（“三线合一”） 等腰三角形的两个底角相等（“等边对等角”） 等腰三角形的性质 等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边的垂直平分线 ... ...