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课件网) 4.4.3 等边三角形 1.掌握等边三角形的性质与判定。 2.能运用等边三角形的性质与判定解决相关问题。 3.理解含30°角的直角三角形的性质。 等腰三角形 等边三角形 一般三角形 两条边相等 三条边相等 思考：把等腰三角形的性质用于等边三角形，能得到什么结论？ 由等腰三角形的性质两个底角相等，我们可以推测等边三角形三个角都相等. 已知：△ABC中，AB＝AC＝BC，试说明：∠A＝∠B＝∠C＝60°. A B C 解：因为AB＝AC，(已知) 因为∠A+∠B+∠C＝180°，(三角形内角和为180°) 所以∠A＝∠B＝∠C＝ ＝60°. 所以∠C＝∠B，(等边对等角) 同理 ∠A＝∠B， 所以∠A＝∠B＝∠C， 结论：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°. 等腰三角形有“三线合一”的性质，等边三角形有“三线合一”的性质吗？ 等边三角形是特殊的等腰三角形，三条边的长度相等，故而等腰三角形“三线合一”的性质在等边三角形中适用，且“三线合一”的性质对每条边都适用， 所以等边三角形“三线合一”的性质可以进一步表述为： 每一边上的中线、高和这一边所对的角的平分线互相重合。 同理，等边三角形有3条对称轴。 例1 如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，CE=CD，试说明：DB=DE。 解：因为△ABC是等边三角形，BD是中线， 所以∠CDE=∠CED， 所以∠CDE=∠CED= ∠BCD=30°， 所以∠ABC=∠ACB=60°,∠DBC=30°。 又因为CE=CD， 又因为∠BCD=∠CDE+∠CED， 所以∠DBC=∠DEC。 所以DB=DE（等角对等边）。 如图，在△ABC中，AB＝AC。再添加一个什么条件，就可判定△ABC为等边三角形？ AB＝BC或AC＝BC 有一个角为60° 证明：∵AB=AC， ∴∠B=∠C. 又∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=60°， ∴∠B=∠C=60°， ∴∠A=∠B=∠C， ∴△ABC是等边三角形. 当底角为60°时，同理可证. 等边三角形的判定定理： 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 例2 如图，AB=BC，∠CDE=120°，DF∥BA，且DF平分∠CDE，试说明：△ABC是等边三角形。 因为DF∥BA， 所以∠ABC=∠CDF=60°， 因为AB=BC， 所以△ABC是等边三角形。（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形） 解：因为DF平分∠CDE，∠CDE=120°， 所以∠CDF=∠EDF=60°， 例3 如图，在Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°. 求证：BC = AB。 证明：作与△ABC关于直线AC对称的△ADC， ∴AD＝AB，DC＝BC， ∠ACD＝∠ACB＝90°，∠DAC＝∠BAC＝30°， ∴∠ACB＋∠ACD＝180°。 ∴点B，C，D共线。 ∵∠BAD＝60°，∴则△ABD是等边三角形。 ∴BD＝AB， ∴BC=CD=AB。 A B C D 含30°角的直角三角形的性质： 在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半。 几何语言： ∵在Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，∴BC =AB。 A B C 练一练 1.如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为( ) A．6米 B．9米 C．12米 D．15米 B 1.如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E=（ ） A.15° B.20° C.25° D.30° A 2.如图，△ABC是等边三角形，AD为中线，AD=AE，E在AC上，求∠EDC的度数． 解：因为△ABC是等边三角形， 所以∠C=60°. 因为AD是中线， 所以∠ADC=90°, ∠DAC=30 °， 因为AD=AE， 所以∠ADE=(180 °- ∠DAC) ÷2 =(180°-30°) ÷2=75°. 所以∠EDC=90 °- ∠ADE=90°-75°=15°. 3.已知：如图，△ABO是等边三角形，CD∥AB，分别交AO、BO的延长线于点C、D．试说明：△OCD是等边三角形． 解：因为△ABO是等边三角形， 所以∠A=∠B=∠AOB=60°， 因为AB∥CD， 所以∠C=∠A=60°，∠D=∠B=60°， 因为∠COD=∠AOB=60°， 所以∠C=∠D=∠CO ... ...
