3.3.1　抛物线的标准方程 同步练习（含解析） 高二数学苏教版选择性必修第一册

3.3.1　抛物线的标准方程 一、 单项选择题 1 (2024清江中学月考)若动点P到点(3，0)的距离和它到直线x＝－3的距离相等，则动点P的轨迹是(　　) A. 椭圆 B. 抛物线 C. 直线 D. 双曲线 2 已知抛物线y＝2px2过点(1，4)，则抛物线的焦点坐标为(　　) A. (1，0) B. C. D. (0，1) 3 (2024余杭高级中学期中)抛物线y2＝4x的焦点到其准线的距离为(　　) A. B. 1 C. 2 D. 4 4 (2025启东联考)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，点M在抛物线C上. 若M到直线x＝－2的距离为4，则MF的长为(　　) A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 5 (2024高邮期中)如图，一座抛物线形拱桥，当桥洞内水面宽16 m时，拱顶距离水面4 m，当水面下降1 m后，桥洞内水面宽为(　　) A. 4 m B. 4 m C. 8 m D. 8 m 6 (2024常州北郊高级中学期末)已知点A(5，4)，F为抛物线y2＝4x的焦点，点P在抛物线上移动，当PA＋PF取最小值时，点P的坐标为(　　) A. (4，4) B. (1，2) C. (5，2) D. (2，2) 二、 多项选择题 7 (2024姜堰中学月考)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，O为坐标原点，点M(x0，y0)在抛物线C上，若MF＝4，则下列结论中正确的是(　　) A. x0＝3 B. y0＝±2 C. OM＝ D. 点F的坐标为(0，1) 8 (2024东台中学月考)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)上的两点M，N与焦点F的距离之和为10，点M，N到x轴的距离的平方和为32，O为坐标原点，则p的值可能为(　　) A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 三、 填空题 9 已知动点M(x，y)的坐标满足＝|x＋2|，则动点M的轨迹方程为_____． 10 已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点与椭圆＋y2＝1的右焦点重合，顶点为椭圆的中心，则抛物线C的标准方程为_____． 11 (2024郑州十八中期末)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点P作准线的垂线，垂足为Q，若∠PFQ＝，且S△PFQ＝4，则p的值为_____． 四、 解答题 12 (2024高邮中学月考)分别求满足下列条件的抛物线的标准方程． (1) 准线方程为2y＋4＝0； (2) 过点(3，－4)； (3) 焦点在直线x＋3y＋15＝0上． 13 (2024泰州中学期中)已知A为抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点，点A到抛物线C的焦点F的距离为12，点A到y轴的距离为9. (1) 求p的值； (2) 若斜率为1的直线l经过抛物线C的焦点F，且与抛物线C相交于M，N两点，求线段MN的长． 3.3.1　抛物线的标准方程 1. B　由题意，得动点P的轨迹是以(3，0)为焦点，直线x＝－3为准线的抛物线． 2. C　由抛物线y＝2px2过点(1，4)，可得p＝2，所以抛物线的标准方程为x2＝y，则焦点坐标为. 3. C　由抛物线y2＝4x，得p＝2，所以焦点到其准线的距离为p＝2. 4. D　因为抛物线C：y2＝8x的焦点为F(2，0)，准线方程为x＝－2，点M在抛物线C上，所以点M到准线x＝－2的距离为MF，所以MF＝4. 5. D　以抛物线的顶点为坐标原点，抛物线的对称轴为y轴，过原点且垂直于y轴的直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系．设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，由题意可知点(8，－4)在抛物线上，所以64＝－2p×(－4)，解得p＝8，所以抛物线的方程为x2＝－16y.当水面下降1 m 后，即当y＝－5时，x2＝－16×(－5)，解得x＝±4，所以当水面下降1 m后，桥洞内水面宽为8 m. 6. A　因为4×5＝20>42＝16，所以点A在抛物线的内部. 设点A(5，4)在准线l上的射影为B，由抛物线的定义可知，PB＝PF，所以当PA＋PF取最小值时，即PB＋PA取最小值．易知当P，A，B三点共线时，PB＋PA最小，令y＝4，得x＝4，所以当PA＋PF取最小值时，点P的坐标为(4，4). 7. ABC　由抛物线C：y2＝4x，得F(1，0).因为点M(x0，y0)在抛物线C上，且MF＝4，所以MF＝x0＋1＝4，解得x0＝3.又y＝4x0＝12，所以y0＝±2，即M(3，±2)，所以OM＝＝＝.故选ABC. 8. BD　设点M(x1，y1)，N(x2，y2).由题意，得可得2p(10－p)＝32，即p2－10p＋16＝0，解得p＝2或p＝8. ... ...