1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 第1课时 学案设计 学习目标 1.理解运用向量运算求解空间距离问题的原理. 2.能应用空间向量法解决距离问题. 3.理解用空间向量解决立体几何中距离问题的“三步曲”. 自主预习 知识点一:点P到直线l的距离 如图,直线l的单位方向向量为u,A是直线l上的定点,P是直线l外一点.设=a,则向量在直线l上的投影向量=(a·u)u.在Rt△APQ中,由勾股定理,得点P到直线l的距离为PQ= = . 知识点二:点P到平面α的距离 如图,已知平面α的法向量为n,A是平面α内的定点,P是平面α外一点.过点P作平面α的垂线l,交平面α于点Q,则n是直线l的方向向量,且点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度.因此PQ= . 课堂探究 问题1:观察下面加油站的设计图,大家找找里面蕴藏了哪些距离问题,这些问题可以抽象为哪些数学模型 探究一:两点间的距离 问题2:我们常见的距离有哪些 问题3:这些距离都可以转化为两点间的距离,所以先来研究用向量法解决两点间的距离问题.用向量法解决长度问题的常用方法有哪些 例1 已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,AD=3,AA1=5,∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60°,求AC1的长. 探究二:点到直线的距离 例2 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别是C1C,D1A1的中点,则点A到直线EF的距离为 . 探究三:点到平面的距离 追问:如何借助向量解决点到平面的距离问题 例3 如图,已知正方形ABCD的边长为4,E,F分别是AB,AD的中点,GC⊥平面ABCD,且GC=2,求点B到平面EFG的距离. 探究四:直线到平面的距离 问题4:如何求直线与和它平行平面的距离 探究五:平面到平面的距离 问题5:如何求两平行平面间的距离 小结:用向量方法求距离的相关公式 距离问题 图示 向量法求距离公式 两点间 的距离 PQ=|| 点到直线 的距离 两平行 线之间 的距离 点到平面 的距离 例4 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=AB=BC=3,AC=2,D是AC的中点. (1)求证:B1C∥平面A1BD; (2)求直线B1C到平面A1BD的距离. 核心素养专练 1.已知直线l过定点A(2,3,1),且n=(0,1,1)为其一个方向向量,则点P(4,3,2)到直线l的距离为( ) A. B. C. D. 2.若两平行平面α,β分别经过坐标原点O和点A(2,1,1),且两平面的一个法向量n=(-1,0,1),则平面α,β间的距离是( ) A. B. C. D.3 3.若三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直,且满足PA=PB=PC=1,则点P到平面ABC的距离是( ) A. B. C. D. 4.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,O是平面A1B1C1D1的中心,则O到平面ABC1D1的距离是( ) A. B. C. D. 5.已知Rt△ABC的两条直角边BC=3,AC=4,PC⊥平面ABC,PC=,则点P到斜边AB的距离是 . 6.已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是线段BB1,B1C1的中点,则直线MN到平面ACD1的距离为 . 参考答案 自主预习 知识点一: 知识点二: 课堂探究 问题1:通过实例抽象出两点间、点到直线、点到平面、直线与和它平行平面、两平行平面的距离. 问题2:两点间的距离,点到直线的距离,点到平面的距离,直线与和它平行平面的距离,两平行平面的距离. 问题3:两点间距离公式,利用空间向量基本定理,转化为基底向量的数量积运算. 例1 解 设=a,=b,=c, 则由题意可知=a+b+c, ||2=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(a·b+b·c+a·c)=4+1+9+2+3+6=25, 故AC1的长为5. 例2 解析 如图,以点D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系, ∵正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,∴A(2,0,0),E(0,2,1),F(1,0,2),=(1,-2,1),=(1,0,-2), ∴||=, ∴直线EF的单位方向向量u=(1,-2,1), ∴点A到直线EF的距离d=. 追问:略 例3 解 如图,建立空间直角坐标系Cxyz. 由题设知C(0,0,0),A(4,4,0), ... ...
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