3.2.1 双曲线及其标准方程 学案设计 学习目标 1.能根据双曲线定义的探究过程,体会双曲线的几何特征,从而抽象出定义. 2.能类比椭圆标准方程的化简方法,化简双曲线的方程,并进行优化. 3.能对双曲线的定义及其标准方程进行简单的应用. 自主预习 1.双曲线的定义 平面内与两个定点F1,F2的距离的 等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这 叫做双曲线的焦点, 叫做双曲线的焦距.双曲线就是下列点的集合: . 2.双曲线的标准方程 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 图形 焦点坐标 a,b,c的关系 课堂探究 1.概念的引入 问题1:椭圆的定义是什么,它的标准方程是怎样的 2.概念的理解 问题2:我们知道,平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹是椭圆.那么一个自然的问题是:平面内与两个定点的距离的差等于常数的点的轨迹是什么 追问1:平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹是双曲线吗 追问2:平面内满足|MF1|-|MF2|=2a(a>0)的点M的轨迹一定是双曲线吗 3.方程的推导 问题3:你能类比求椭圆标准方程的方法,尝试建立双曲线的方程吗 4.概念的巩固应用 例1 已知双曲线的两个焦点分别为F1(-5,0),F2(5,0),双曲线上一点P与F1,F2的距离差的绝对值为6,求双曲线的标准方程. 例2———神舟”九号飞船返回舱顺利到达地球后,为了及时使航天员安全出舱,地面指挥中心在返回舱预计到达区域安排了三个救援中心(记A,B,C),A在B的正东方向,相距6千米,C在B的北偏西30°方向,相距4千米,P为航天员着陆点.某一时刻,A接收到P的求救信号,由于B,C两地比A距P远,在此4秒后,B,C两个救援中心才同时接收到这一信号.已知该信号的传播速度为1千米/秒,求航天员着陆点P在点A的方位角. 5.拓展探究 如图,点A,B的坐标分别是(-5,0),(5,0),直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率之积是,试求点M的轨迹方程,并由点M的轨迹方程判断轨迹的形状,与课本3.1例3比较,你有什么发现 核心素养专练 1.双曲线=1上的点到一个焦点的距离为12,则到另一个焦点的距离为( ) A.22或2 B.7 C.2 D.4 2.已知平面上定点F1,F2及动点M,命题甲:||MF1|-|MF2||=2a(a为常数),命题乙:点M的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线,则命题甲是命题乙的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.(多选题)已知方程=1表示的曲线为C.给出以下四个判断,其中正确的是( ) A.当14或t<1时,曲线C表示双曲线 C.若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆,则14 4.已知双曲线的中心在坐标原点,且一个焦点为F1(-,0),点P在该双曲线上,线段PF1的中点坐标为(0,2),则该双曲线的标准方程为( ) A.-y2=1 B.x2-=1 C.=1 D.=1 5.已知P为双曲线=1右支上一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,M为△PF1F2的内心.若+8,则△MF1F2的面积为( ) A.2 B.10 C.8 D.6 6.如图所示,已知双曲线以长方形ABCD的顶点A,B为左、右焦点,且双曲线过C,D两顶点.若AB=4,BC=3,则此双曲线的标准方程为 . 7.如图,在以点O为圆心,|AB|=4为直径的半圆ADB中,OD⊥AB,P是半圆弧上一点,∠POB=30°,曲线C是满足||MA|-|MB||为定值的动点M的轨迹,且曲线C过点P.建立适当的平面直角坐标系,求曲线C的方程. 8.如图,在△ABC中,已知|AB|=4,且三内角A,B,C满足2sin A+sin C=2sin B,建立适当的坐标系,求顶点C的轨迹方程. 参考答案 自主预习 1.差的绝对值 两个定点 两焦点间的距离 P={M|||MF1|-|MF2||=2a,0<2a<|F1F2|} 2.=1(a>0,b>0) =1(a>0,b>0) F1(-c,0),F2(c,0) F1(0, ... ...
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