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课件网) 1.1 空间向量及其运算 1.1.1 空间向量及其运算 第2课时 空间向量的数量积 探究点一 空间向量的夹角 探究点二 空间向量的数量积运算 探究点三 空间向量数量积的应用 ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 课堂评价 备课素材 练习册 答案核查【导】 答案核查【练】 【学习目标】 1.掌握空间向量的夹角概念及表示方法； 2.掌握两个空间向量的数量积的概念、性质、计算方法及运算规律； 3.能运用数量积求向量夹角和判断向量的共线与垂直. 知识点一 两个空间向量的夹角 1.定义:给定两个非零向量,,在空间中任选一点,作, , 则大小在内的称为与 的_____,记作_____. 2.如果，，则称向量与向量 _____，记作_____. 夹角 , 垂直 3.规定：零向量与任意向量都垂直. 知识点二 空间向量的数量积及性质 1.定义:两个非零向量与 的数量积（也称为内积）定义为_____ _____. 规定：零向量与任意向量的数量积为0. , 2.投影：一般地，给定空间向量和空间中的直线或平面，过 的始点和终点分别作直线或平面的垂线，假设垂足为， ，则 向量称为在直线或平面 上的投影. 与的数量积等于在上的投影的数量与 的长度的_____. 乘积 3.空间向量数量积的性质 （1） _____. （2） _____. （3） . （4） . （5） （交换律）. （6） （分配律）. 注:不满足结合律 . 【诊断分析】 判断正误.（正确的打“√”,错误的打“×”） （1）对于向量,,若,则一定有或 .( ) × （2）对于非零向量,由,可得 .( ) × （3）若,则, 是钝角.( ) × （4）若非零向量，为同向的空间向量,则 .( ) √ （5）已知,是夹角为 的两个单位向量,则向量在向量 上 的投影为 .( ) × （6）若,为空间向量，则 .( ) √ （7）对于非零向量,,，若，则 .( ) × [解析] 若，则，所以 ，此时无 法判断 是否成立. 探究点一 空间向量的夹角 例1 在正方体 中，求： （1），，，，， ； 解：在正方体 中， ，， ， ，，，，， . （2），，， ； 解：在正方体中，， ， ，，， . （3），,， . 解：连接，，易知, ， 和都是等边三角形，，， ， . 变式 在正四面体中，点，分别是，的中点，则 与 的夹角为( ) A. B. C. D. [解析] 由题意可得，，所以， ， ， . √ ［素养小结］ 求两向量夹角的关键是把两向量平移到一个公共起点，找到向量的 夹角，再利用解三角形的知识求角，注意向量夹角的范围是
. 探究点二 空间向量的数量积运算 例2（1）［2025·广西玉林高二期中］如图，边长为4 的正方形是圆柱的轴截面， 为上底面圆 内一点，则 的最小值为( ) A.6 B.8 C.10 D.12 [解析] 由题得 ，当且仅当 与重合时，等号成立， 故 的最小值为12.故选D. √ （2）如图所示，已知 平面， ， ，则向量在向量 上的投影的数 量是____. [解析] 因为 平面，， ， 所以，.在 中，， 则向量在向量 上的投影的数量是 . 变式（1）如图，四个棱长为1的正方体排成一个正 四棱柱， 是一条侧棱， 是上底面 上其余的八个点，则 的可能值 的个数为 ( ) A.1 B.2 C.4 D.8 [解析] 因为图中是四个相同的正方体排成的正四棱柱， 所以在上的投影都是 ， 所以, ， 即 的值只有一个．故选A. √ （2）［2025·广东深圳高二期中］在正三棱锥中， 是 的中心，，则 __. [解析] 在正三棱锥中，是的中心， 平面 ，又 平面，，即 ， ， ， ， . ［素养小结］ （1）空间向量数量积运算的两种方法: ①利用定义:利用
,
并结合运算律进行计算. ②利用图形:计算两个向量的数量积,可先将两向量平移到同一顶点, 利用图形寻找夹角,再代入数量积公式进行计算. （2）在几何体中求空间向量数量积的步骤: ①首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式. ②利用向量的运算律将数量 ... ...
