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课件网) 1.2 空间向量在立体几何中的应用 1.2.1 空间中的点、直线与空间向量 探究点一 确定空间中点的位置 探究点二 直线的方向向量 探究点三 用直线的方向向量处理线线平行、垂直问题 探究点四 利用向量法求空间中两条直线所成的角 ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 课堂评价 备课素材 练习册 答案核查【导】 答案核查【练】 【学习目标】 1.了解空间中的点与空间向量的关系，理解直线的方向向量; 2.掌握利用空间向量证明两条直线平行或垂直的方法; 3.掌握利用空间向量求空间中两条直线所成的角的方法; 4.了解公垂线段的概念并会求其长度. 知识点一 用向量表示点的位置 一般地，如果在空间中指定一点，那么空间中任意一点 的位置， 都可以由向量____唯一确定，此时，通常称为点 的_____. 位置向量 知识点二 直线的方向向量 一般地，如果是空间中的一条直线， 是空间中的一个非零向量， 且表示的有向线段所在的直线与平行或重合，则称为直线 的一 个方向向量.此时，也称向量与直线平行，记作 . （1）如果，是直线上两个不同的点，则就是直线 的一个 方向向量； （2）如果是直线的一个方向向量，则对任意的实数 ，空间 向量也是直线的一个方向向量，而且直线 的任意两个方向向量 都平行； （3）空间中直线的位置可由直线的一个方向向量和 上的一个已 知点唯一确定； （4）如果，分别是直线， 的一个方向向量，则 或与 重合. 【诊断分析】 判断正误.（正确的打“√”,错误的打“×”） （1）直线 的方向向量是唯一的.( ) × （2）若两条直线平行,则它们的方向向量的方向相同或相反.( ) √ （3）若向量是直线的一个方向向量，则向量也是直线 的一个 方向向量.( ) × 知识点三 空间中两条直线所成的角 （1）设，分别是空间中直线，的方向向量，且与 所成角 的大小为 ，则_____（如图①所示）或 _____ （如图②所示），所以_____， _____. ① ② （2）， _____ ___. 0 【诊断分析】 判断正误.（正确的打“√”,错误的打“×”） （1）两条异面直线所成的角与两直线方向向量所成的角相等或互补. ( ) √ （2）若两直线的方向向量分别为,，两直线所成的角为 ，则 .( ) × （3）空间中两直线所成的角唯一确定，则两条直线对应的方向向量 所成的角也唯一确定.( ) × 知识点四 异面直线与空间向量 1.异面直线的判定 设，分别是空间中直线， 的方向向量. （1）若与异面，则与 是不可能平行的. （2）若与不平行，则与 的位置关系为_____. （3）若，，则与异面时，，， _____；若 ，，不共面，则与 异面.（如图①②所示） 相交或异面 不共面 2.异面直线间的距离 一般地，如果与是空间中两条异面直线，， ， _____，_____，则称为与 的公垂线段.两条异面直线的公 垂线段的长，称为这两条异面直线之间的_____. 距离 【诊断分析】 判断正误.（正确的打“√”,错误的打“×”） （1）不相交的直线就是异面直线.( ) × （2）任意两条异面直线的公垂线段都只有一个.( ) √ （3）设,分别是空间中直线,的方向向量，若, 不平行， 则两条直线是异面直线.( ) × 探究点一 确定空间中点的位置 例1 ［2024·广西南宁东盟中学高二月考］已知是坐标原点， ， ，三点的坐标分别为，， . （1）若，求点 的坐标； 解：， ，则 ，所以点的坐标为 . （2）若是线段上的一点，且，求点 的坐标. 解：设点的坐标为，则 ， ，因为是线段上的一点，且 , 所以， 即 解得故点的坐标为 . 例1 ［2024·广西南宁东盟中学高二月考］已知是坐标原点， ， ，三点的坐标分别为，， . 变式（1）已知点，，为线段 上一点，且 ，则点 的坐标为( ) A. B. C. D. [解析] 设，则 ， 由题知 为线段上一点，且， ， 即，解得， ... ...
