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课件网) 1.2 空间向量在立体几何中的应用 1.2.2 空间中的平面与空间向量 探究点一 求平面的法向量 探究点二 利用空间向量证明平行关系 探究点三 利用空间向量证明垂直关系 探究点四 三垂线定理及其逆定理的应用 ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 课堂评价 备课素材 练习册 答案核查【导】 答案核查【练】 【学习目标】 1.理解平面的法向量的概念,会求平面的法向量; 2.会用平面的法向量证明有关平行与垂直问题; 3.理解并会应用三垂线定理及其逆定理证明有关垂直问题. 知识点一 平面的法向量 1.定义：如果 是空间中的一个平面， 是空间中的一个_____， 且表示的有向线段所在的直线与平面 _____，则称为平面 的 一个法向量，此时，也称与平面 垂直，记作 . 非零向量 垂直 2.性质：①如果直线垂直平面 ，则直线 的任意一个方向向量都是 平面 的一个法向量； ②如果是平面 的一个法向量，则对任意的实数 ，空间向量 也是平面 的一个法向量，而且平面 的任意两个法向量都平行； ③如果为平面 的一个法向量，为平面 上一个已知的点，则对 于平面 上任意一点，向量一定与向量垂直，即 ， 从而可知平面 的位置可由和 唯一确定. 【诊断分析】 判断正误.（正确的打“√”,错误的打“×”） （1）若向量，为平面 的法向量，则以这两个向量为方向向 量的直线一定平行.( ) × （2）如果是平面 的一个法向量，, 平面 ，那么一定有 .( ) √ （3）如果向量,与平面 共面且,，那么就是平面 的一个法向量.( ) × （4）平面的法向量有无数个，且互相平行.( ) √ 知识点二 直线与平面平行、垂直的判定 如图，如果是直线的一个方向向量，是平面 的一个法向量，则 _____； _____，或_____. 知识点三 两平面平行、垂直的判定 如图,如果，分别是平面，的一个法向量，则 _____； _____，或_____. 与重合 【诊断分析】 判断正误.（正确的打“√”,错误的打“×”） （1）若两个平面的法向量互相平行，则两个平面平行.( ) × [解析] 两个平面还可能重合. （2）若两个平面的法向量垂直,则这两个平面垂直.( ) √ （3）已知两个不重合平面的一个法向量分别为,，直线 的一个 方向向量为，若满足且 ，则两个平面垂直.( ) √ 知识点四 三垂线定理及其逆定理 （1）三垂线定理：如果平面内的一条直线与平面的_____在该 平面内的_____垂直，则它也和这条_____垂直. （2）三垂线定理的逆定理：如果平面内的_____和这个平面的 _____垂直，则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直. 一条斜线 射影 斜线 一条直线 一条斜线 探究点一 求平面的法向量 例1（1）已知,,，若平面 的一个法向量 为，则 ( ) A. B. C. D. √ [解析] 由题得,， 若平面 的一个法向量为， 则即 解得所以 .故选C. （2）已知正方体 的棱长为 2，为棱的中点，以 为坐标原点建立空 间直角坐标系（如图），则平面 的一个 法向量为( ) A. B. C. D. √ [解析] 由题意可得，， ， 所以，, 设平面 的一个法向量为， 则 即 令，得 ，所以平面的一个法向量为， 所以是平面 的一个法向量.故选C. 变式 ［2024·辽宁铁岭高二期中］如图，四边形 是直角梯形, , 平面,, ,建立适当 的空间直角坐标系，求平面和平面 的法向量. 解：因为,,两两垂直,所以以 为原点,以 , ,的方向分别为轴、轴、 轴的正方向， 建立空间直角坐标系，如图所示, 则,,, ，所以 ，， . 易知是平面 的一个法向量. 设平面的法向量为,则 即令，得 , 故平面的一个法向量为 . ［素养小结］ 利用待定系数法求平面的法向量的步骤: （1）设向量：设平面的一个法向量为
. （2）选向量：在平面内选取两个不共线的向量
，
. （3）列方程组：由
列出方程组并解方程组. （4） ... ...
