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课件网) 2.2 直线及其方程 2.2.2 直线的方程 第3课时 直线的一般式方程 探究点一 求直线的一般式方程 探究点二 直线的方向向量、法向量与一般式方程的关系 探究点三 含参数的直线一般式方程有关问题的解决 ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 课堂评价 备课素材 练习册 答案核查【导】 答案核查【练】 【学习目标】 1.理解直线的一般式方程的特点,以及与其他方程形式的区别与联系; 2.掌握直线的一般式方程与其他形式之间的相互转化,进一步掌握求 直线方程的方法. 知识点一 直线的一般式方程 关于，的二元一次方程（其中,, 都是实常数， 且，不同时为0，即 ）表示直线，我们把 称为直线的_____. ，不能同时为0，即 . ②直线的一般式方程能表示所有的直线，在求直线方程时，最后结 果一般都化成_____. 一般式方程 一般式方程 ③当时，表示一条与 轴_____的直线； 当时，表示一条与 轴_____的直线； 当时，，直线的斜率为，截距为 . 为直线的一个法向量．若直线 过点 ,且它的一个法向量为 ,则它的直线方程为_____ _____. 垂直 垂直 知识点二 直线方程五种形式之间的互化 【诊断分析】 1.判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）直线方程的其他特殊形式都可化为一般式方程.( ) √ （2）任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化.( ) × [解析] 当 时,一般式方程就不能化为截距式方程. （3）当,同时为0时，方程 也可表示一条直线. ( ) × [解析] 当，同时为0时，若，则方程对任意的， 都成立， 此时方程表示整个坐标平面； 若 ，则方程无解，此时方程不表示任何图形. （4）若直线方程为 ,则直线的斜率为 .( ) × [解析] 当 时，直线的斜率不存在. 2.已知直线的方程为,不同时为0,求当,, 满 足什么条件时,直线有如下性质:直线经过原点;直线与 轴平行;直线 与轴平行;直线与轴重合;直线与 轴重合. 解：当时,直线经过原点; 当,,时,直线与 轴平行; 当,,时,直线与轴平行; 当,, 时,直线与轴重合; 当,,时,直线与 轴重合. 探究点一 求直线的一般式方程 例1 根据下列条件，分别求出直线的一般式方程： （1）经过点，平行于直线 ； 解：由题可知，所求直线的斜率为3，故其方程为 ， 整理得 . （2）倾斜角是 ，截距是4； 解：由直线的倾斜角是 得直线的斜率为.当直线在 轴上截距 是4，即过点时，直线方程为 ，整理得； 当直线在轴上截距是4时，直线方程为 ， 整理得.综上，直线方程为 . （3）经过点， ； 解：由条件得直线的两点式方程为，整理得 . （4）经过点 ，且在两坐标轴上的截距的和为5. 解：由题意得，直线在轴上的截距为2，故在 轴上的截距为3，所 以直线的截距式方程为，整理得 . 变式 根据下列各条件写出直线的方程,并化成一般式方程. （1）斜率是,且经过点 的直线的方程为_____. （2）经过点,且平行于 轴的直线的方程为_____. （3）在轴和轴上的截距分别是和 的直线的方程为_____ ____. （4）经过两点， 的直线的方程为_____ ___. [解析] 当时，所求直线的方程为 ，即 ; 当时，所求直线的方程为 ，满足式. 所以经过两点， 的直线的方程为 . ［素养小结］ 在求直线方程时，常用的是根据给定条件选用四种特殊形式之一求 方程，再化为一般式方程，一般选用规律为： （1）已知直线的斜率和直线上某一点的坐标时，选用直线的点斜式 方程； （2）已知直线的斜率和在
轴上的截距时，选用直线的斜截式方程； （3）已知直线上两点坐标时，选用直线的两点式方程； （4）已知直线在
轴、
轴上的截距时，选用直线的截距式方程. 探究点二 直线的方向向量、法向量与一般式方程的关系 例2 ［2024·内蒙古呼和浩特高二期中］求下列直线的方程. （1）经 ... ...
