2.1.2 基本不等式 课件（ 16页） 2025-2026学年湘教版2019高中数学必修第一册

2.1.2　基本不等式 1.了解基本不等式的证明过程. 2.能灵活应用基本不等式解决一些证明、比较大小问题. 在上节课中，我们通过著名的“赵爽弦图”提炼出了如下不等关系： 当????≠????时，????????+????????>????????????. ? a2＋b2＝2ab 当E，F，G，H四点重合，即a=b时，则有 作差法： (????????+????????)?????????????=(?????????)????≥????. ? 对任意????，????∈????，必有????????+????????≥????????????，当且仅当????=????时等号成立. ? 对任意正数????，????∈????，必有????+????????≥????????，当且仅当????=????时等号成立. ? 特别地，当????>????，????>????时，用????，????分别代替定理中的????，????可得如下推论： ? 定理： 如何证明呢 因为 ????+?????????????????=????????(????+?????????????????)=????????(?????????)????≥????， 所以 ????+????????≥????????，当且仅当????=????，即????=????时等号成立. ? 对于任意实数????，????，都有????+????????≥????????成立吗？ ? 不成立 对任意正数????，????∈????，必有????+????????≥????????，当且仅当????=????时等号成立. ? 证法一： 如图所示，以长是????+????的线段为直径作圆????，在直径????????上取点????，使得????????=????，????????=????，过点????作????????⊥????????交上半圆于点????， ? 连接????????和????????，可证?????????????????????~?????????????????????，那么????????????????=????????????????， 即????????=????????. ? 因为????????是圆的半径，故????????=????+????????.显然，它大于或等于????????， 即 ????+????????≥????????， ? 当且仅当点????和点????重合，即????=????时，等号成立. ? 证法2： 知识归纳 a＝b 1.定理 对任意a，b∈R，必有a2＋b2≥2ab，当且仅当_____时等号成立. ≥ 证明： (1)因为????，????????均为正数，由基本不等式，得????+????????≥?????????????????=????， 当且仅当????=????????，即????=????时等号成立，所以原不等式成立. ? 例1 设????，????为正数，证明下列不等式： (1)????+????????≥????；(2)????????+????????≥????. ? (2)因为????，????为正数，所以????????，????????也为正数，由基本不等式，得????????+????????≥?????????????????????=????， 当且仅当????????=????????，即????=????时等号成立，所以原不等式成立. ? 正数，验证等号成立. 证明： 因为????，????，????>????，由基本不等式，得 ????+????≥????????????，????+????≥????????????，????+????≥????????????， 把上述三个式子的两边分别相加，得????(????+????+????)≥????(????????+????????+????????)， 即????+????+????≥????????+????????+????????， 当且仅当????=????，????=????，????=????，即????=????=????时等号成立. ? 例2 对任意三个正实数????，????，????，求证：????+????+????≥????????+????????+????????，当且仅当????=????=????时等号成立. ? 这个不等式的结构有何特点？与基本不等式有怎样的联系？ 解： 因为????????，?????????>????， 所以????(?????????)≤????+(?????????)????=????????， 当且仅当????=?????????，即????=????????时等号成立. 因此，当????=????????时，????(?????????)取到最大值. ? 例3 已知????????),????=?????????????(????≠????),则????,????之间的大小关系是 ( ) A.????>???? B.????