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课件网) 1.5 平面上的距离 1.5.2 点到直线的距离 探究点一 点到直线的距离 探究点二 平行线间距离公式的应用 探究点三 利用距离公式解决最值问题 探究点四 距离公式的综合应用 ◆ ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 备课素材 练习册 答案核查【导】 答案核查【练】 【学习目标】 1.会运用多种方法推导点到直线的距离公式,明确使用公式的前提条件. 2.能根据给定的点与直线熟练运用公式求点到直线的距离. 3.能将平行线间的距离转化为点到直线的距离,并会用点到直线的距 离公式导出两条平行直线间的距离公式. 4.能说明应用公式的前提条件,并能用公式求给定两平行线间的距离. 知识点一 点到直线的距离公式 点到直线的距离为 _ _____. 除了课本上的证明方法之外，我们还可以用下面的方法证明. 证明:根据定义,点到直线的距离就是点到直线 的 垂线段的长度.如图,过点 作直线 的垂线,垂足为 ,由 可知的斜率为___, 的方程为 ,与的方程联立,得交点 的坐标为 ,则 . 可以验证,当,或 时,上述公式仍然成立. 知识点二 两条平行直线间的距离 两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长. 1.求法:转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离. 2.公式:两条平行直线 与 之间的距离为 _ _____. 【诊断分析】 1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）点到直线的距离是 .( ) × （2）点到直线 的距离为3.( ) √ （3）两平行线间的距离是两平行线上两点间距离的最小值．( ) √ （4）已知两平行直线, , 则直线,间的距离为 .( ) × 2.在运用点到直线的距离公式时，对直线方程有什么要求？在应用两 条平行线间的距离公式时，对直线方程有什么要求？ 解：在运用点到直线的距离公式时，要求直线的方程应化为一般式； 在应用两条平行线间的距离公式时，要求两条平行直线的方程都是 一般式，且, 对应的系数应分别相等． 探究点一 点到直线的距离 例1（1）已知点，直线，则点到直线 的 距离为( ) A.3 B.2 C.1 D. [解析] 由点到直线的距离公式可得点到直线 的距离为 .故选B. √ （2）［2025·江苏苏州高二期中］已知， 两点到直 线的距离相等，则实数 的值为_____. 或 [解析] 因为，两点到直线 的距离 相等，所以,即,解得 或 . 变式 已知点 . （1）求过点 且与原点的距离为2的直线的方程. 解：①当直线的斜率不存在时，直线方程为 ，符合题意； ②当直线的斜率存在时，设斜率为 ，则直线方程为 ，即 . 根据题意，得，解得 ，所以直线方程为 . 故符合题意的直线方程为或 . （2）是否存在过点 且与原点的距离为6的直线 若存在，求出该直 线的方程；若不存在，请说明理由. 解：不存在.理由如下：过点且与原点的距离最大的直线为过点 且 与垂直的直线（其中 为坐标原点），最大距离为 ，而 ，故不存在这样的直线. 变式 已知点 . ［素养小结］ 点到直线的距离的求解方法： （1）求点到直线的距离时,先把直线方程化为一般式,再直接应用点 到直线的距离公式求解即可； （2）对于与坐标轴平行（或重合）的直线
或
,求点
到它们的距离
时,既可以用点到直线的距离公式,也可以直 接根据
或
求解； （3）已知点到直线的距离求参数时,根据点到直线的距离公式列方程 求解参数即可. 探究点二 平行线间距离公式的应用 例2（1）两条平行直线与 间的距离 为( ) A. B.2 C.14 D. [解析] 由平行线间的距离公式可知，所求距离为 .故 选D. √ （2）［2025·江苏扬州中学高二月考］若两条平行直线 与之间的距离是 ， 则 ___． 3 [解析] 因为直线与 平 行，所以，解得且，所以直线 的方程为 ，即. 因为两平行线间的距离为 ，所以， 得， 因为 ，所以，得，所以 . ... ...
