第1章 微突破（一） 直线中的对称问题（课件 学案 练习）高中数学 苏教版（2019）选择性必修第一册

微突破(一)　直线中的对称问题 例1　　[解析] 由中点坐标公式得a==. 变式　(4,6)　[解析] 设点C(x,y),由中点坐标公式得解得故C(4,6). 例2　C　[解析] 设A(x,y),因为点A与点B关于直线x+y+2=0对称,所以线段AB的中点在直线x+y+2=0上,且直线AB与直线x+y+2=0垂直,则解得即点A的坐标为(-3,-4).故选C. 变式　B　[解析] 因为点O(0,0)关于直线l的对称点为A(-4,2),所以直线l为线段OA的中垂线.由题可知,线段OA的中点为(-2,1),直线OA的斜率为=-,故直线l的斜率为2,故直线l的方程为 y-1=2(x+2),即2x-y+5=0.故选B. 例3　解:方法一:设直线l上任意一点M的坐标为(x,y),则此点关于点(2,-1)的对称点为M1(4-x,-2-y), 因为M1在直线3x-y-4=0上, 所以3(4-x)-(-2-y)-4=0, 即3x-y-10=0,所以直线l的方程为3x-y-10=0. 方法二:在直线3x-y-4=0上取两点A(0,-4),B(1,-1), 则点A(0,-4)关于点(2,-1)的对称点为A1(4,2),点B(1,-1)关于点(2,-1)的对称点为B1(3,-1). 可得直线A1B1的斜率为=3,所以直线A1B1的方程为y-2=3(x-4),即3x-y-10=0,即直线l的方程为3x-y-10=0. 方法三:易知所求直线l与直线3x-y-4=0平行,故可设l的方程为3x-y+C=0(C≠-4). 在直线3x-y-4=0上取一点(0,-4), 因为点(0,-4)关于点(2,-1)的对称点(4,2)在直线3x-y+C=0上, 所以3×4-2+C=0,所以C=-10. 所以直线l的方程为3x-y-10=0. 变式　B　[解析] 设直线l:4x+3y-2=0关于点A(1,1)对称的直线上任意一点P(x,y),则P(x,y)关于A(1,1)对称的点为(2-x,2-y),因为(2-x,2-y)在直线4x+3y-2=0上,所以4(2-x)+3(2-y)-2=0,即4x+3y-12=0.故选B. 例4　解: 在直线m上任取一点M(2,0),则M(2,0)关于直线l的对称点M'必在直线m'上. 设M'的坐标为(a,b), 则解得 即M'. 设直线m与直线l的交点为N,则由得N(4,3). 又直线m'经过点N(4,3),所以由两点式得直线m'的方程为9x-46y+102=0. 变式　A　[解析] 由得 则直线l1与直线l的交点为N(2,0).在直线l1:x-2y-2=0上取一点(0,-1),设点(0,-1)关于直线l:2x-y-4=0的对称点为M(a,b),则解得 即M,故直线l2的斜率k=-,所以直线l2的方程为y=-(x-2),即11x+2y-22=0.故选A. 例5　解:设原点关于直线l的对称点A的坐标为(a,b),连接OA,如图所示, 由直线OA与l垂直,及线段AO的中点在l上,得解得所以点A的坐标为(4,3). 因为反射光线的反向延长线过A(4,3),且反射光线过P(-4,3),A,P两点纵坐标相等, 所以反射光线所在直线的方程为y=3. 由解得由于反射光线为射线, 故反射光线的方程为y=3. 由光的性质可知,光线从O到P所走过的路程即为AP的长度, 由A(4,3),P(-4,3)知,AP=4-(-4)=8,即光线从O经直线l反射后到达P点所走过的路程为8. 例6　解:(1)设点A关于直线l的对称点为A'(m,n),则 解得故A'(-2,8).连接A'B,则A'B所在直线方程为x=-2. ∵P为直线l上的一点,∴PA+PB=PA'+PB≥A'B, 当且仅当B,P,A'三点共线时等号成立,此时PA+PB取得最小值,点P是直线A'B与直线l的交点. 由解得 ∴所求的点P的坐标为(-2,3). (2)由题意知,A,B两点在直线l的同侧,P是直线l上的一点, 则|PB-PA|≤AB,当且仅当A,B,P三点共线时等号成立, 此时|PB-PA|取得最大值,点P是直线AB与直线l的交点. ∵A(2,0),B(-2,-4),∴直线AB的方程为y=×(x-2),即y=x-2, 由解得∴所求的点P的坐标为(12,10). 变式　(1)A　[解析] 由题意知,AB所在直线的方程为x+y-4=0.如图,易知点P关于直线AB的对称点为D(4,2),关于y轴的对称点为C(-2,0),则光线所经过的路程为CD=2. (2)解:①设点B关于l的对称点B'的坐标为(a,b), 则kBB'·kl=-1,即×1=-1, ∴a+b-4=0①. ∵线段BB'的中点在直线l上, ∴--1=0,即a-b-6=0②. 由①②得∴点B'的坐标为(5,-1).∴AB'所在直线的方程为=,即2x+y-9=0. 易知|PB-PA|=|PB'-PA|≤AB',当且仅当P,B',A三点共线时,|PB'-PA|取得最大值. 联立直线l与AB'的方程,解得x=,y=,即l与AB' ... ...