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课件网) 2.1 圆的方程 第2课时 圆的一般方程 探究点一 圆的一般方程的理解 探究点二 求圆的一般方程 探究点三 圆的一般方程的实际应用 ◆ ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 备课素材 练习册 答案核查【导】 答案核查【练】 【学习目标】 1.能描述圆的一般方程的方程结构与代数意义. 2.能熟练进行圆的标准方程与一般方程间的互化. 3.能根据给定圆的几何要素求出圆的一般方程. 知识点一 圆的一般方程 （1）定义：方程 （_____） 叫作圆的一般方程，圆心为_____,半径为_____. （2）圆的一般方程的特点是: 和 的系数都是___; ②没有____这样的二次项; ___0. 注意：方程 并不一定表示圆,当其系数满 足时,它表示____;当 时,它表示一 个____;当时,方程 没有 实数解,它不表示任何图形. 圆 点 知识点二 轨迹方程 满足条件的点所构成的曲线即为动点 的轨迹，对应的方程即为 动点 的轨迹方程. 【诊断分析】 1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）圆的一般方程可以化为圆的标准方程.( ) √ （2）方程 一定是某个圆的方程.( ) × （3）若方程表示圆,则 .( ) √ （4）当时,圆 的圆心在 轴上.( ) × 2.我们知道，方程表示以 为圆心，2为 半径的圆.可以将此方程变形为 ，那么 所有圆的方程是否都能表示为方程①的形式呢？类似于方程①的方 程是否都表示圆呢？ 解：所有圆的方程都能表示为方程①的形式.类似于方程①的方程不一 定都表示圆，比如方程 就不表示任何图形. 探究点一 圆的一般方程的理解 例1 若方程 表示圆,求: （1）实数 的取值范围; 解:根据题意知 , 即,解得,故的取值范围为 . （2）该圆的圆心坐标和半径. 解:由 ， 得, , 故圆心坐标为,半径 . 变式 若方程表示圆，则实数 的取值范围 是( ) A. B. C. D. [解析] 方法一：由 , 得，若该方程表示圆，则需满足 ， 解得，所以实数的取值范围是 .故选B. 方法二：若方程表示圆，则需满足，解得 ， 所以实数的取值范围是 .故选B. √ ［素养小结］ 判断方程
是否表示圆要“两看”. 一看方程是否具备圆的一般方程的特征：
；
. 二看它能否表示圆.此时需要判断
是否大于0，或直接配 方变形，判断等号右边是否为大于零的常数. 探究点二 求圆的一般方程 例2（1）已知的三个顶点为,, ，求 外接圆的方程. 解:设外接圆的方程为 ， 其中,将，， 三点的坐标代入方程，整理可得 解得 故所求外接圆的方程为 . （2）已知圆经过点,,且圆心在直线上,求圆 的一般方程. 解:设圆的一般方程为 ,其中 ,则圆心为 , 由题意得解得所以圆 的一般方程 为 . 变式 已知圆 的圆心在直线 上,且圆心在第二象限,半径为 .求: （1）圆 的一般方程; 解:由题可得，圆的标准方程为 , 则圆心为 ,半径为 , 所以解得 或又圆心在第二象限,所以, , 故圆的一般方程为 . （2）圆关于直线 对称的圆的一般方程. 解:由（1）知圆的圆心为 , 设它关于直线对称的点为 , 则解得 所以圆关于直线 对称的圆的标准方程为 , 即所求圆的一般方程为 . ［素养小结］ 求圆的一般方程主要有两种方法:（1）定义法;（2）待定系数法.定 义法是根据题目利用定义判断曲线为圆,求出圆心坐标和半径，写出 标准方程，进而得到一般方程;待定系数法是列出关于
,
,
的方程 组,求出
,
,
,从而求得圆的一般方程. 探究点三 圆的一般方程的实际应用 例3 某地建了一座圆拱桥，该圆拱桥的圆拱跨 度为 ，拱高为 ，在该圆拱桥的示意图 中建立了如图所示的平面直角坐标系． 解：设这座圆拱桥所在圆的一般方程为 , ,因为该圆过点,,, 所以 解得 所以这座圆拱桥所在圆的一般方程为 , 标准方程为 , （1）求这座圆拱桥所在圆的方程； （2）若该景区 ... ...
