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课件网) 3.1 椭圆 3.1.2 椭圆的几何性质 第2课时 椭圆几何性质的综合问题 探究点一 弦长问题 探究点二 中点弦问题 探究点三 椭圆的实际应用问题 ◆ ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 备课素材 练习册 答案核查【导】 答案核查【练】 【学习目标】 1.由直线与椭圆的方程,利用代数方法解决直线与椭圆位置关系的相 关问题. 2.能灵活运用椭圆的相关知识解决一些生活中的问题. 知识点一 弦长问题 （1）定义:直线与椭圆的交点间的线段叫做椭圆的弦. （2）弦长公式：若直线与圆锥曲线相交于， 两点， , ，则 弦长 或弦长 . 知识点二 中点弦 解决椭圆中点弦问题的方法: （1）根与系数的关系法:联立直线方程和椭圆方程构成方程组,消去一 个未知数,利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决. （2）点差法:利用弦的端点在椭圆上,坐标满足方程,将端点坐标分别 代入椭圆方程,然后作差,构造出中点坐标和斜率的关系. 已知椭圆上两点 , ,的中点为,则有 两式 相减得,整理得 ,即直 线的斜率 . 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）若直线的斜率一定，则当直线过椭圆的中心时，弦长最大.( ) √ （2）直线与椭圆 的位置关系是 相交.( ) √ （3）直线与椭圆 的位置关系为相切.( ) × 探究点一 弦长问题 例1 已知椭圆的两个焦点是， ，并且经过点 . （1）求椭圆 的标准方程； 解：方法一：因为椭圆的焦点在 轴上，所以设它的标准方程为 . 由题意知，解得所以椭圆 的标准方程为 . 方法二：因为椭圆的焦点在 轴上，所以设它的标准方程为 . 根据椭圆定义得，即 . 又因为，所以，所以，椭圆 的标准方程为 . （2）若直线与椭圆相交于，两点，当线段 的长 度最大时，求直线 的方程. 解：由消去得 ， 因为直线与椭圆相交于， 两点， 所以 ，解得 . 设， ， 则， ， 所以 . 当时，取最大值，此时直线的方程为 . 变式 ［2025·江苏镇江实验中学高二月考］ 已知椭圆 ， 过左焦点作倾斜角为的直线交椭圆于，两点，则弦 的长为 ___. 2 [解析] 在椭圆中，， ，则 ，故点，设点， ， 由题可知，直线的方程为 ， 即，由可得 ， 则，所以， ， 所以 . ［素养小结］ 直线与椭圆相交弦长的有关问题 1.弦的两端点的坐标易求时，可直接求出交点坐标，再用两点间距离 公式求弦长. 2.弦的两端点的坐标不易求时，可用弦长公式. 3.如果方程涉及斜率，要注意斜率不存在的情况. 探究点二 中点弦问题 例2 已知点是直线被椭圆 所截得的弦的中点,求直 线 的方程. 解:方法一:由题意可知直线的斜率存在,设直线 的方程为 ,直线与椭圆的两交点分别为, ,椭 圆的方程可化为 . 将直线方程与椭圆方程联立,消去 化简得 ,所以 ,解得,所以直线 的方程为 ,即 . 方法二:设直线与椭圆的交点为, , 则, ,两式相减得 . 因为,,所以 , 即直线的斜率,所以直线的方程为 ,即 . 变式 ［2025·江苏常州实验中学高二期末］ 椭圆 截直线 所得弦的中点与椭圆中心（坐标原点）的连线 的斜率为__. [解析] 设直线与椭圆 的交点坐标为 ,，则，可得 , . 因为,在椭圆上，所以两式相减得 ， 整理得，则,所以 . ［素养小结］ （1）涉及弦的中点,可以使用点差法:设出弦的两端点坐标,代入椭圆 方程,两式相减即得弦的中点坐标与斜率的关系式. （2）与弦中点有关的问题有平行弦的中点轨迹、过定点且被定点平 分的弦所在的直线方程等. 探究点三 椭圆的实际应用问题 例3 ［2025·江苏南京金陵中学高二期中］开普勒第一定律也称椭圆 定律、轨道定律，其内容如下：太阳系中的每一个行星沿各自的椭 圆轨道环绕太阳运行，而太阳则处在椭圆的一个焦点上.将某行星 看作一个质点，绕太阳的运动轨迹成椭圆 ， 行星 在运动过程中距离太阳最近 ... ...
