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课件网) 3.3 抛物线 3.3.1 抛物线的标准方程 探究点一 求抛物线的标准方程 探究点二 抛物线的定义及应用 探究点三 抛物线的实际应用 ◆ ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 备课素材 练习册 答案核查【导】 答案核查【练】 【学习目标】 1.会识别抛物线的定义和相关概念,知道二次函数的图象符合抛 物线的定义,能初步应用抛物线定义解决一些简单问题. 2.能根据抛物线的几何特征选择适当的平面直角坐标系,根据抛 物线定义的代数表达类比导出抛物线的标准方程. 3.能识别焦点在不同坐标轴上的抛物线的四种标准方程,能说出 标准方程中一次项系数的意义. 4.能初步应用抛物线定义和标准方程解决一些关联问题. 知识点一 抛物线的定义 平面内到一个定点和一条定直线不在上 的距离_____的点的 轨迹叫作抛物线，定点叫作抛物线的_____,定直线 叫作抛物线的 _____. 相等 焦点 准线 知识点二 抛物线的标准方程 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 开口方向 _____ _____ 向右 _____ _____ _ _____ 向左 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 开口方向 _____ _____ _ _____ _____ _____ _____ 向下 向上 续表 【诊断分析】 1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）抛物线的焦点到准线的距离是 .( ) √ （2）抛物线上一点到焦点的距离与到准线的距离的比值为1.( ) √ （3）抛物线的开口方向由方程中的一次项确定.( ) √ （4）平面内与定点和一条定直线 距离相等的点的轨迹是抛物线. ( ) × 2.方程表示的曲线的焦点坐标是 吗？准线方程 是 吗？ 解：不是，方程变形为 ，其表示的曲线的焦 点坐标是，准线方程是 . 探究点一 求抛物线的标准方程 例1 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程. （1）焦点到准线的距离是4; 解:由题意可知,故抛物线的标准方程为或 或 或 . （2）焦点在轴上,且经过点 ; 解:设抛物线的标准方程为,将点 的坐标代 入,得,所以,所以抛物线的标准方程为 . （3）抛物线的焦点是双曲线 的左顶点. 解:双曲线的标准方程为,其左顶点的坐标为 , 设抛物线的标准方程为,则,所以 , 所以抛物线的标准方程为 . 例1 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程. 变式 ［2025·江苏南京一中高二月考］ 准线方程为 的抛物线 的标准方程是( ) A. B. C. D. [解析] 根据题意，抛物线的准线方程为，则其焦点在 轴负半 轴上，设抛物线的标准方程为，则 ，得 ，故抛物线的标准方程为 .故选D. √ ［素养小结］ （1）求抛物线的标准方程时要注意确定焦点在哪条坐标轴上,进而求 方程的有关参数. （2）求抛物线的标准方程的方法: ①直接法,建立恰当的坐标系,利用抛物线的定义列出动点满足的条件, 列出对应方程,化简方程;②直接根据定义求
,然后写出标准方程;③利 用待定系数法设标准方程,找有关的方程（组）求系数. 探究点二 抛物线的定义及应用 角度1 轨迹问题 例2（1）一动圆过点且与直线: 相切,则该动圆圆心的轨 迹为( ) A.抛物线 B.椭圆 C.直线 D.圆 [解析] 因为动圆圆心到点的距离与到直线 的距离相等,且 点不在直线 上，所以根据抛物线的定义知,动圆圆心的轨 迹为抛物线.故选A. √ （2）［2025·江苏南通中学高二质检］在平面直角坐标系 中，动 点到直线的距离比它到定点的距离小1，则 的轨 迹方程为( ) A. B. C. D. [解析] 由题意知动点到直线的距离与定点 的距离 相等，由抛物线的定义知，的轨迹是以为焦点，直线 为准线的抛物线， 设其标准方程为，则 ，即， 所以所求轨迹方程为 ，故选D. √ 变式 已知圆，动点在轴的右侧，到 轴的距离比 它到圆心的距离小1，则动点的轨迹 的方程为_____. [解析] 由化为，可得圆 的圆心 ，因为到轴的距离比它到圆心的距离小1，所以点 到定 点的距离与到 ... ...
