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课件网) 3.3 抛物线 3.3.2 抛物线的几何性质 第1课时 抛物线的简单几何性质 探究点一 抛物线的几何性质 探究点二 抛物线的几何性质的应用 ◆ ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 备课素材 练习册 答案核查【导】 答案核查【练】 【学习目标】 能类比椭圆、双曲线几何性质的研究方法得到抛物线的范围、 对称性、顶点等几何性质及其代数表达. 知识点 抛物线的几何性质 标准方程 图形 _____ _____ _____ _____ 范围 ， ， ， ， 标准 方程 对称轴 轴 轴 轴 轴 焦点 坐标 _ _____ _____ 准线方程 _____ _____ 顶点 离心率 ___ 通径长 ____ 1 续表 【诊断分析】 1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）抛物线关于原点对称.( ) × （2）抛物线只有一个焦点、一条对称轴,无对称中心.( ) √ （3）是抛物线上一点, 是抛物线的焦点,则 .( ) × （4）过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦长是 .( ) × 2.“抛物线， 的焦点到准线的距离是相同的，离心率 也相同”这种说法是否正确？ 解：这种说法正确.抛物线， 的焦点到准线的距离都 是2，离心率都是1. 探究点一 抛物线的几何性质 例1 （多选题）［2025·江苏南京一中高二月考］ 对于抛物线 ，下列描述正确的是( ) A.开口向上，对称轴为轴 B.开口向上，焦点为 C.焦点到准线的距离为4 D.准线方程为 [解析] 由可化为 ，可知抛物线的开口向上，对称轴 为轴，焦点坐标为 ，焦点到准线的距离为4，准线方程为 .故选 . √ √ 变式 ［2025·安徽黄山一中高二质检］ 下列说法中正确的是( ) A.抛物线的焦点坐标为 B.抛物线的准线方程为 C.抛物线关于 轴对称 D.抛物线关于 轴对称 [解析] 抛物线的焦点坐标为 ，故A错误； 抛物线的准线方程为 ，故B错误； 抛物线关于轴对称,不关于 轴对称,故C正确,D错误. 故选C. √ ［素养小结］ 运用抛物线的几何性质时要把握三个要点: （1）定性:由抛物线的标准方程看抛物线的开口方向,关键是看准二 次项是
还是
,一次项的系数是正还是负. （2）定量:确定焦点到准线的距离
. （3）转化:抛物线上的一点到焦点的距离与到准线的距离相等,解题 时适时转化可起到事半功倍的效果. 探究点二 抛物线的几何性质的应用 例2（1）［2025·湖南湘潭一中高二质检］点 到抛物线 的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是( ) A.或 B.或 C.或 D.或 √ [解析] 将转化为,当 时，抛物线开口向上，准 线方程为，点到准线的距离为 ，解得 ，所以抛物线方程为，即； 当 时，抛物线开口向下，准线方程为，点 到准线 的距离为，解得或 （舍去），所以抛物线 方程为，即. 所以抛物线的标准方程为 或 .故选D. （2）［2025·江苏通州中学高二调研］,是抛物线 上的两 点，为坐标原点.若，且的面积为 ，则 ( ) A. B. C. D. [解析] ，,两点关于轴对称，设 ，则 ，，解得 ，， 设 ,， ， . 故选C. √ 变式 已知抛物线的焦点为，准线为，点在 上，过 点作准线的垂线，垂足为，若，则 ( ) A.1 B. C. D.2 [解析] 如图，因为，所以 ， 设准线与轴交于点，因为 ，所以 . 因为，所以 ， 所以在等边三角形中， . √ ［素养小结］ 应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直 观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数 形结合思想解题的优越性. 1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸,但它没有渐近线. 2.对称性:抛物线只有一条对称轴,没有对称中心. 3.抛物线的焦半径（其中点为抛物线的焦点,点 为抛物线上任意一 点） 抛物线, ; 抛物线, ; 抛物线, ; 抛物线, . 4.焦点弦 （1）定义:过焦点的直线被抛物线所截得的弦. （2）焦点弦长公式:设两交点分别为, ,可以通过使 用两次焦半径 ... ...
