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课件网) 5.2 导数的运算 5.2.1 基本初等函数的导数 探究点一 利用导数公式求函数的导数 探究点二 利用导数公式解决与切线有关 的问题 ◆ ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 备课素材 练习册 答案核查【导】 答案核查【练】 【学习目标】 1.掌握基本初等函数的导数,能根据导数的定义求函数 为常数,,,,, 的导数. 2.会使用导数公式解决问题. 知识点一 常见函数的导数 1.___,为常数 ； 2.___为常数 ； 3. ___； 4. ____； 5. _____； 6. _____； 7. _ ___； 0 1 知识点二 基本初等函数的导数 1._____ 为常数 ； 2._____,且 ； 3. ____； 4._____,且 ； 5. __； 6. _____； 7. _____. 【诊断分析】 1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）已知函数,则 .( ) × （2）若,则 .( ) × （3）若,则 .( ) × （4） .( ) × 2.如何用导数的定义求 的导数？ 解：因为 ， 所以，故 . 探究点一 利用导数公式求函数的导数 例1 求下列函数的导数： （1） ； 解：因为，所以 . （2） ； 解：因为 ， 所以 . （3） ； 解：因为，所以 . （4） ； 解：因为，所以 . （5） ； 解：因为，所以 . （6） . 解：因为 ， 所以 . 变式 下列各式中正确的是 ( ) A.且 B.且 C. D. [解析] 由，可知A，B均错误； 由 ，可知C错误，D正确． √ ［素养小结］ 1.若函数符合基本初等函数的导数公式,则直接利用公式求导. 2.若函数不符合基本初等函数的导数公式,则通过恒等变换对解析式 进行化简或变形后再求导. 探究点二 利用导数公式解决与切线有关的问题 角度1 求切线方程 例2 ［2025·广东惠州中学高二质检］经过点作曲线 的 切线，则切线方程为( ) A. B. C.或 D.或 √ [解析] 易知点在曲线上，,①当点 为切点时，切线 斜率,切线方程为 ,即. ②当点不是切点时,设切点为 ,可求得切线的斜率 在曲线上,, ,整理得， 解得或 （舍去），，， 此时切线方程为 ，即. 故经过点 的曲线的切线有两条， 方程为或 .故选D. 变式 ［2025·江苏通州中学高二调研］ 已知直线既与曲线 相切，也与直线平行，则直线 的方程为( ) A. B. C. D. [解析] 由可得，则直线 的斜率为2， 设切点为. 由，得，由题意得 ，可得， 则,所以切点为 ,所以切线方程为， 即 ，故选B. √ ［素养小结］ 利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况 1.若已知点是切点，则曲线在该点处的切线斜率就是该点处的导数. 2.如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公 式求解. 角度2 由切线方程求参数 例3 点在函数的图象上，且满足到直线 的距离为 1的点有且仅有1个，求实数 的值. 解：函数的导函数为，设直线 与函数 的图象相切于点 ， 则解得则切点为， 由题可知 到直线的距离为1，且直线在直线 上方， 所以，解得或 (舍去),即 . 变式 已知曲线在点处的切线方程为,则 ____. [解析] 因为,所以，则,解得,则 , 所以切点坐标为， 又切点在切线上，所以 ,可得 ． ［素养小结］ 由切线方程求参数值时，一般先设出切点,再根据给出切线方程的信 息列方程（组）求解. 1.知识点一给出的这些求导公式是中学阶段用的较多的公式,同时也 代表各种类型.如:（1）常函数的导数为0;（2）奇函数, , 的导函数都为偶函数;（3）偶函数 的导函数为奇函数; （4） 体现的是根式的导数. 2.知识点二给出的导数公式,可分为三类:第一类为幂函数, ;第二类为三角函数,可记为正弦函数的导函数为 余弦函数,余弦函数的导函数为正弦函数的相反数;第三类为指对数函 数,对于公式和 比较容易记忆,但对于公式 且和且 的记 忆就较难,应区分公式的结构特征,找出差异,记忆公式. 对于不能直接利用公式的类型,一般遵循“先化简,再求导”的基本原则, 避免不必要的运算失误.比如对 ... ...
