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课件网) 5.2 导数的运算 5.2.2 函数的和、差、积、商的导数 探究点一 利用导数的加减运算法则求导数 探究点二 利用导数的乘除运算法则求导数 探究点三 导数公式及导数的运算法则的应用 ◆ ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 备课素材 练习册 答案核查【导】 答案核查【练】 【学习目标】 掌握导数的四则运算法则,能灵活运用基本初等函数的导数公式 和导数的四则运算法则求简单函数的导数. 知识点 导数的运算法则 已知, 为可导函数. （1） _____. （2）_____,特别地, _____为常数 . （3）_____ . 【诊断分析】 1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）已知,则 .( ) √ （2）已知,则 ( ) × （3）已知,则 .( ) × （4）若函数的导函数为,则 .( ) × 2.你能用导数的定义推导出导数运算的加法法则与减法法则吗？ 解：设 , 则, , ,即 .同理可证, . 探究点一 利用导数的加减运算法则求导数 例1 求下列函数的导函数. （1） ； 解：由，得 . （2） ； 解：由，得 . （3）, ； 解：由, ，得, . （4） . 解：由，得 . 例1 求下列函数的导函数. ［素养小结］ 两个函数和（或差）的导数,等于这两个函数的导数的和（或差）. 探究点二 利用导数的乘除运算法则求导数 例2 求下列函数的导数. （1） ; 解：方法一: . 方法二: , . （2） ; 解： . （3） . 解： . 例2 求下列函数的导数. 变式 求下列函数的导数. （1） ; （2） ; 解： . 解：方法一: . 方法二:因为 ,所以 . （3） ; 解：因为 , 所以 . （4） . 解： . 变式 求下列函数的导数. ［素养小结］ 一般情况下,应用导数的运算法则和基本初等函数的导数公式求导数 时,要尽量少用积、商的求导法则.在求导之前,可先对函数解析式进行 化简,再求导,这样可减少运算量,提高运算速度,避免出错. 探究点三 导数公式及导数的运算法则的应用 例3（1）（多选题）［2025·江苏南通中学高二月考］ 已知直线 是函数图象的一条切线，则实数 的值可以为 ( ) A.0 B.1 C. D. [解析] 设是函数 图象上的一点，由题意知 ,则，所以 的图象在点 处的切线方程为 . √ √ √ 过原点，则在方程①中令 ，得 ，则 ,即 ，所以或,. .当,时，，. 综上所述，的可能取值为0,.故选 . （2）［2025·山东莱芜一中高二质检］若函数， 满足 ，且，则 ___. 3 [解析] 因为函数，满足 ， 且，所以，则 . 对 两边同时求导， 可得，所以 ， 因此 . 变式1 已知函数的导函数为 ，且满足 ，则 ( ) A.0 B. C. D. [解析] 由，得， 令 ，得，解得， 所以 ，则 .故选D. √ 变式2 曲线在点 处的切线为 ，在点处的切线为，则曲线 的 方程为_ _____． [解析] 由已知得点与点均在曲线上， ①, . 令 ，则， ， ， 由题意得③,. 由①②③④解得, , ,． 故曲线的方程为 ． ［素养小结］ 利用导数运算法则的策略 （1）分析待求函数解析式,确定求导法则,基本公式. （2）如果待求解析式比较复杂,那么需要对解析式先变形再求导,常 用的变形有乘积式展开变为和式,商式变乘积式,三角函数恒等变换等. 1.导数的加法与减法运算法则 （1）两个函数和（或差）的导数等于两个函数的导数的和（或差）, 可推广到多个函数的和（或差）,即 . （2）两个函数和（或差）的导数还可推广为 （, 为常数）. 2.导数运算乘法法则的推导 . 1.一般情况下,应用和、差、积、商的求导法则和基本初等函数的导 数公式求导数时,积、商的求导法则运算量较大,要尽量少用积、商的 求导法则,应先对函数式进行化简,然后求导,这样可减少运算量. 例1 求下列函数的导数: （1） ; 解：因为 , 所以 . （2） . 解：方法一: . 方法二:因为 , 所以 . 例1 求下列函数的导数: 2.高考注重考查导数的几何意义,往往通过求切线方程来考查导数的 ... ...
