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课件网) 5.2 导数的运算 5.2.3 简单复合函数的导数 探究点一 复合函数的概念 探究点二 复合函数的导数 探究点三 复合函数导数的应用 ◆ ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 备课素材 练习册 答案核查【导】 答案核查【练】 【学习目标】 理解简单复合函数的导数,能求简单复合函数的导数. 知识点一 复合函数 一般地,对于两个函数和,如果通过中间变量, 可以 表示成的函数,那么称这个函数为函数和 的复合函 数,记作 . 知识点二 复合函数的求导法则 一般地,对于由函数和复合而成的函数 , 它的导数与函数, 的导数间的关系为_____, 即对的导数等于对的导数与对 的导数的_____. 乘积 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）函数是函数, 的复合函数. ( ) √ （2）函数的导数是 .( ) × （3）函数的导数为 .( ) √ （4）函数的导数是 . ( ) √ 探究点一 复合函数的概念 例1（1）（多选题）下列函数是复合函数的有( ) A. B. C. D. [解析] 对于A,是由及 相乘得到的,不是复合函数; 对于B,函数是由与 经过复合得到的, 是复合函数; 对于C,函数是由与 经过复合得到的,是复合函数; 对于D,函数是由 与经过复合得到的, 是复合函数. 故选 . √ √ √ （2）指出下列函数的复合关系: ; 解：是由和 或 经过复合得到的. （2）指出下列函数的复合关系: . 解：是由,和 经过复合得到的. ［素养小结］ 若
与
均为基本初等函数,则函数
和函数
均为复合函数. 探究点二 复合函数的导数 例2 求下列函数的导数: （1） ; 解：原函数可看作, 的复合函数, 则 . （2） ; 解：可看作, 的复合 函数,则 . （3） ; 解：原函数可看作, 的复合函数, 则 . 例2 求下列函数的导数: （4） ; 解：原函数可看作, 的复合函数, 则 . （5） . 解：原函数可看作, 的复合函数, 则 . 例2 求下列函数的导数: 变式 求下列函数的导数: （1） ; 解：设,,则 . （2） ; 解：设, , 则 . （3） ; 解：设, , 则 . （4） ; 解：设, , 则 . 变式 求下列函数的导数: （5） . 解：设, , 则 . 变式 求下列函数的导数: ［素养小结］ 复合函数求导的一般步骤: （1）正确分清复合关系,选定中间变量; （2）分步计算对应变量的导数; （3）把中间变量回代,将导函数写成关于自变量的函数. 探究点三 复合函数导数的应用 例3 设函数.若曲线在点 处的 切线方程为，求， 的值． 解：由 ，得 . 显然切点既在曲线上，又在切线 上，将 代入切线方程得 ， 所以切点坐标为，可求得，则 . 由题意知，所以 . 变式 已知直线与曲线相切，则 ___. 1 [解析] 设切点坐标为， 因为 ，所以， 所以切线的斜率， 又 ， 所以，所以，又，所以 . ［素养小结］ 求解与复合函数的图象有关的切线问题时,首先要牢记复合函数的求 导方法,准确求出函数的导数,其次利用导数的几何意义求解. 1.求复合函数的导数需处理好以下环节: （1）中间变量的选择应是基本初等函数结构; （2）正确分析函数的复合层次; （3）一般是从最外层开始,由外及里,一层层进行求导; （4）善于把一部分表达式作为一个整体; （5）最后要把中间变量换成自变量的函数. 2.利用复合函数求导法则求复合函数的导数的步骤: 1.求复合函数的导数,关键是搞清楚复合函数的结构,明确复合次数,再 由外层向内层逐层求导,直到关于自变量求导.同时应注意不能遗漏求 导环节并及时化简计算结果. 例1（1）已知函数,则 ( ) A. B. C. D. [解析] 因为 , 所以 .故选D. √ （2）［2024·杭州二中高二期末］已知,则 _____. [解析] . 2.复合函数求导法则的应用 利用复合函数的求导法则可以求抽象函数的导数. 例2 求证:（1）可导的奇函数的导函数是偶函数; 证明：设 是可导的奇函数, 则 , 两 ... ...
