(
课件网) 6.1 空间向量及其运算 6.1.3 共面向量定理 探究点一 四点共面的判断与证明 探究点二 向量共面的判断与证明 探究点三 共面向量定理的应用 探究点四 利用共面向量定理求参数 ◆ ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 备课素材 练习册 答案核查【导】 答案核查【练】 【学习目标】 1.结合立体几何与空间向量的特征,了解共面向量的概念. 2.理解空间向量共面的充要条件，会证明空间四点共面. 知识点一 向量共面 一般地，能平移到_____的向量叫作共面向量. 同一平面内 知识点二 共面向量定理 如果两个向量，不共线，那么向量与向量， 共面的充要条件 是存在有序实数组，使得 . 注意：（1）空间一点位于平面 内的充要条件：存在有序实数 组，使或对空间任意一点 ，有 . （2）共面向量定理的用途： ①证明四点共面; ②证明线面平行（进而证明面面平行）. 探究点一 四点共面的判断与证明 例1 ［2025·江苏启东汇龙中学月考］如图所示， 在长方体中，为 的中点， ，且，求证：，，， 四点共面. 证明：设 ，，，，连接， ，，则， 为 的中点，， 又三个向量有相同的起点，，，， 四点共面. ，，，，为共面向量， 变式 ［2024·江苏徐州高二期末］对空间中任意一点 和不共线的三 点,,，下列式子中能得到在平面 内的是( ) A. B. C. D. √ [解析] 因为，，三点不共线，所以, 不共线， 若,,,四点共面，则存在唯一的一组实数, ，使得 ， 即 ，变形得 . 对于A， ，整理得 ，则，所以 在平面 内， 故A正确； 对于B， ，可得 ，则 ，故不在平面 内， 故B错误； 对于C， ，可得 ，则，故 不在平面 内， 故C错误； 对于D， ，可得 ，则 ，故不在平面 内， 故D错误.故选A. ［素养小结］ （1）已知
，
，
不共面，若
，且
，则
，
，
，
四点共面. （2）证明
，
，
，
四点共面，可以通过证明存在有序实数组
，使
（
，
不共线）来证明. 探究点二 向量共面的判断与证明 例2 已知，，三点不共线，对平面外的任一点，点 满足 . （1）判断，， 三个向量是否共面； 解：由题知 ，则 ，即 ，所以，， 共面. 例2 已知，，三点不共线，对平面外的任一点，点 满足 . （2）判断点是否在平面 内. 解：由（1）知，，共面且三个向量有公共点 ， 所以，，，四点共面，即点在平面 内. 变式（1）［2025·江苏启东一中高二期末］若,, 不共面，则 ( ) A.,,不共面 B.,, 不共面 C.,,不共面 D.,, 不共面 [解析] 对于A，因为不存在实数,使得 成 立，所以,, 不共面，A正确； 对于B，因为，故,, 共面，B错误； 对于C，因为，所以,, 共面， C错误； 对于D，因为，所以,, 共面，D错误. 故选A. √ （2）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形， ， 分别为，的中点.求证：向量，， 共面. 证明:如图，连接,因为底面 是平行四边 形,且是的中点,所以也是 的中点. 在中，因为是的中点, 所以 ， . 又因为 ，所以 ， 所以向量，， 共面. ［素养小结］ （1）共面向量不仅包括在同一个平面内的向量，还包括平行于同一 平面的向量. （2）空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量不一定共面. 探究点三 共面向量定理的应用 例3 ［2025·江苏南京高二期中］如图，在直四 棱柱中，底面 为等腰梯 形，，，，，， 分 别是棱，， 的中点. 证明：直线平面 . 证明：由题意知，是 的中点， ， 四边形 是平行四边 形，. ，分别是， 的中点， . 又与 不共线， 根据向量共面的充要条件可知，,共面. 又 不在平面内，平面 . 变式 ［2025·江苏扬州新华中学高二月考］已知向量,, 是空间中 不共面的三个向量，, , . （1）若,，求, ... ...
