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课件网) 6.3 空间向量的应用 6.3.4 空间距离的计算 探究点一 点到直线的距离 探究点二 点到平面的距离 探究点三 线面距和面面距 ◆ ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 备课素材 练习册 答案核查【导】 答案核查【练】 【学习目标】 1.借助直线的方向向量和平面的法向量,能计算点到直线的距离、 点到平面的距离,并知道两条平行直线之间的距离、直线与平面平行 时两者间的距离、两个平行平面之间的距离. 2.能分析和解决一些立体几何中的距离问题,体会向量方法与综 合几何方法的共性和差异,体会直线的方向向量和平面的法向量的作 用,感悟向量是研究几何问题的有效工具. 知识点一 点到平面的距离 如图所示，是平面 外一点， ,垂足 为,为平面 内任意一点，设为平面 的 法向量，则 ，其中 ，.从而 .因为 的绝对值即为点到平面 的距离，所以 _ _____. 知识点二 点到直线的距离 如图，是直线外一点，，为垂足，是上任意一点，设 是直线的方向向量，记，，则，故点 到直 线的距离为 _____. 知识点三 直线（平面）到平面的距离 （1）如果一条直线与一个平面 平行，可在直线上任取一点 ,将 线面距离转化为____到_____的距离求解. （2）如果两个平面 , 互相平行，可在其中一个平面 内任取一 点 ,将两个平行平面之间的距离转化为____到_____的距离求解. 点 平面 点 平面 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）平面 外一点到平面 的距离,就是点与平面 内一点 所 成向量 的长度.( ) × （2）若直线平面 ,则直线到平面 的距离就是直线 上的点到 平面 的距离.( ) √ （3）若平面平面 ,则两平面 , 之间的距离可转化为平面 内某条直线到平面 的距离,也可转化为平面 内某点到平面 的距 离.( ) √ 探究点一 点到直线的距离 例1（1）已知点，直线过原点且平行于向量 ，则 点到直线 的距离为( ) A. B.1 C. D. [解析] 根据题意，可取直线上一点,又 ，所以 ，则点到直线 的距离 .故选A. √ （2）［2025·江苏南通一中质检］在长方体 中， ,，为的中点，则点到直线 的距离为 _ ___. [解析] 如图，连接，以，， } 为正交基底，建立空间直角坐标系 ， 则,, ， 所以,，故点 到直线 的距离为 . 变式 如图,三棱柱 的所有棱的长 都为2,且 ,平面 平面 ,点,分别在棱,上,且 . （1）求证:平面 ; 证明:如图,作,交于点 ,则由 ,得 , , , 又， , ，， ， 即,连接 , 四边形为平行四边形, . 平面,且 平面 , 平面 . 变式 如图,三棱柱 的所有棱的长 都为2,且 ,平面 平面 ,点,分别在棱,上,且 . （2）当点是棱的中点时,求点到直线 的距离. 解：取的中点,连接, , ,, , , ， 则, 又平面 平面,平面 平面, 平面， 平面 . 根据余弦定理得 , 是等边三角形,, 以 ，， }为正交基底，建立如图所示 的空间直角坐标系 , 则,, , ,, , , , ,, 点 到直线 的距离为 . ［素养小结］ 用向量法求点到直线的距离的一般步骤: （1）建立空间直角坐标系; （2）求直线的方向向量; （3）计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线上的投影向量 的长度; （4）利用勾股定理求解. 另外,要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化. 探究点二 点到平面的距离 例2 如图所示，在正三棱柱中， 是棱的中点，，点在 上， 且，求点到平面 的距离. 解：取的中点，连接 ，根据题意易知 ，， 两两垂直， 如图，以，， }为正交基底，建立空 间直角坐标系 ， 则，，, ， 可得， . 设平面的法向量为 ， 则 令，则， ，可得 . 又，所以点到平面 的距离为 . 变式 ［2025·江苏无锡一中期中］如图，在棱长为4的正方体 中，点在棱上，且 . （1）求平面与平面 夹角的余弦值； 解：以，， }为正交基底，建立如 图所示的空间直角坐标系 ， ... ...
