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课件网) 7.4 二项式定理 7.4.1 二项式定理 探究点一 二项式定理的正用与逆用 探究点二 二项展开式通项的应用 探究点三 与展开式中的特定项有关的问题 ◆ ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 备课素材 练习册 答案核查【导】 答案核查【练】 【学习目标】 1.能用计数原理证明二项式定理. 2.掌握二项式定理及二项展开式的通项. 3.能解决与二项式定理有关的简单问题. 知识点 二项式定理 二项式定理 公式 叫作二项式定理 二项展开式 公式右边的多项式 二项展开式的通 项 二项式系数 二项式 的展开式的特点. （1）项数：共有 项，比二项式的次数大1. （2）二项式系数：第项的二项式系数为 ，二项式系数最大 的项居中. （3）次数：字母降幂排列，次数由到0；字母 升幂排列，次数由 0到.每一项中，，次数之和均为 . 探究点一 二项式定理的正用与逆用 例1（1）利用二项式定理展开下列各式: ① ; 解： . 例1（1）利用二项式定理展开下列各式: ② . 解： 的展开式的通项为 ，则原式的展开式为 . （2）化简: . 解： . 变式 ［2025·江苏扬州期中］化简多项式 的结果是( ) A. B. C. D. [解析] 依题意可知，多项式的每一项都可以写成 的形式，所以该多项式为 的展 开式，则原式 .故选D. √ ［素养小结］ 二项式定理的双向应用 （1）正用:将二项式
展开,得到一个多项式,即二项式定理从左 到右使用是展开.对于较复杂的式子,一般先化简再用二项式定理展开. （2）逆用:将多项式合并成二项式
的形式,即二项式定理从右 到左使用是合并.对于化简、求和、证明等问题的求解,要熟悉公式的 特点，即项数、各项次数的规律以及各项系数的规律. 探究点二 二项展开式通项的应用 例2 已知 . 解： 的展开式的通项为 ，其中 且 . （1）求展开式中第4项的二项式系数； 展开式中第4项的二项式系数为 . 例2 已知 . （2）求展开式中第4项的系数； 解：展开式中第4项的系数为 . 例2 已知 . （3）求展开式的第4项. 解：展开式的第4项为 . 变式 在 的二项展开式中，回答下列问题. （1）若，且第3项与第6项相等，求实数 的值； 解：当时，可得 的展开式的通项为 . 令，可得 ， 令，可得 ， 因为第3项与第6项相等, 所以，解得 . 变式 在 的二项展开式中，回答下列问题. （2）若第5项系数是第3项系数的10倍，求 的值. 解：二项式 的展开式的通项为 ， 则展开式中第5项的系数为，第3项的系数为 ， 因为第5项系数是第3项系数的10倍， 所以，则 ， 即 ， 可得，解得或 （舍去）， 所以 的值为8. ［素养小结］ （1）展开式中某一项的二项式系数都是组合数
, 它与展开式中对应项的系数不一定相等.要注意区分“二项式系数”与 “项的系数”这两个概念. （2）二项展开式中第
项的系数是此项字母前的数连同符号，而 此项的二项式系数为
. 探究点三 与展开式中的特定项有关的问题 例3 在 的展开式中,第6项为常数项. （1）求 的值; 解： 的展开式的通项为 . 因为展开式的第6项为常数项, 所以,解得 . 例3 在 的展开式中,第6项为常数项. （2）求展开式中含 的项的系数; 解：令,解得,则展开式中含 的项的系数为 . 例3 在 的展开式中,第6项为常数项. （3）求展开式中所有的有理项. 解：根据题意得所以 ,5,8, 所以展开式中第3项、第6项与第9项为有理项, 它们分别为,, , 即,, . 变式 在 的二项展开式中，回答下列问题. （1）若，求展开式中含 的项的系数； 解：当时， ， 其展开式的通项为 ， 令，解得 ， 所以展开式中含的项的系数为 . 变式 在 的二项展开式中，回答下列问题. （2）若展开式含有常数项，求正整数 的最小值. 解： 的展开式的通项为 , 由，得 ， 因为，，所以满足题意的正整数 的最小值 ... ...
