(
课件网) 7.4 二项式定理 7.4.2 二项式系数的性质及应用 探究点一 二项展开式的系数和 探究点二 系数最大项问题 探究点三 整除和求近似值问题 ◆ ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 备课素材 练习册 答案核查【导】 答案核查【练】 【学习目标】 1.理解和掌握二项式系数的性质,并会简单应用. 2.理解和初步掌握赋值法及其应用. 知识点一 二项式系数表 二项式系数的特点： （1）每一行中的二项式系数是“_____”的； （2）每行两端都是1,而且除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数 的____； （3）每行的二项式系数从两端向中间逐渐_____. 对称 和 增大 知识点二 二项式系数及其性质 一般地，展开式的二项式系数，，， ， 具有如 下性质： （1） _____； （2） _____； （3）当 ____时，；当 ____时， ； （4） ____. 探究点一 二项展开式的系数和 例1 设 . （1）求 的值; 解：令,得 . （2）求 的值; 解：令,得 . 由得 , . 例1 设 . （3）求 的值; 解：由得 , . 令,得, . 例1 设 . （4）求 的值; 解： 的展开式的通项为 , , , . 例1 设 . （5）求 的值. 解：对 两边分别求导得 , 令 ,得 . 变式（1）［2025·江苏苏州高二期中］若 ，则 ( ) A.6562 B.3281 C.3280 D.6560 [解析] 令，则， 令 ，则 ，所以 .故选B. √ A. B. C. D. （2）（多选题）［2025·江苏淮安期末］已知 ，则下列结论正确 的是( ) √ √ [解析] 令，则 ，A不正确； ， ，则 ，B正确； 显然，,, ，则 ，C正确； ，D不正确.故选 . ［素养小结］ 二项展开式中系数和的求法 （1）对形如
,
的式子 求其展开式的各项系数之和,常用赋值法,只需令
即可;对形如
的式子求其展开式的各项系数之和,只需 令
即可. （2）一般地,若
,则各项系数之和 为
,奇数项系数之和为
,偶数项系数 之和为
. 拓展 已知 . （1）求 的值; 解：令,得 . 拓展 已知 . （2）求 的值. 解：令 ,得 , 则 . 探究点二 系数最大项问题 例2 ［2025·江苏常州期中］已知二项式 . （1）求展开式中二项式系数最大的项； 解： 的展开式中，二项式系数最大的项为展开式的中间项， 也就是第5项， 所求项为 . 例2 ［2025·江苏常州期中］已知二项式 . （2）求展开式中系数最大的项和系数最小的项. 解：的展开式的通项为 设第项的系数的绝对值最大，则 可得 ，则第6项和第7项的系数的绝对值最大. 易知第6项的系数为负数，第7项的系数为正数， 第7项是系数最大的项，这一项为 ； 第6项是系数最小的项，这一项为 . 变式（1）［2024·重庆西南大学附中高二月考］已知 的展 开式中仅第4项的二项式系数最大,则展开式中系数最大的项是( ) A.第2项 B.第3项 C.第4项 D.第5项 [解析] 因为展开式中仅第4项的二项式系数最大,所以展开式中共有7 项,则,所以二项式为 ,其展开式的通项为 , ,1,2,3,4,5,6. 设展开式中第项的系数最大, 则解得,故 , 经检验符合题意,所以展开式中系数最大的项是第3项.故选B. √ （2）［2025·江苏徐州期中］在 的展开式中，系数绝对 值最大的项是( ) A.第10项 B.第9项 C.第11项 D.第8项 [解析] 二项式 的展开式的通项为 ， 设第 项系数的绝对值最大， 所以 ， ，可得 ， 因为，所以 ，所以系数绝对值最大的项是第9项，故选B. √ ［素养小结］ （1）根据展开式中二项式系数的性质可知,当
为奇数时,中间两项的 二项式系数最大;当
为偶数时,中间一项的二项式系数最大. （2）求展开式中系数最大的项通常利用不等式（组）.一般地,如果 第
项的系数最大,那么与之相邻两项（第
项、第
项）的系 数均不大于第
项的系数,由此列不等式组可确定
的范围 ... ...
