第一章 空间向量与立体几何（单元培优.含解析）2025-2026学年人教A版（2019）数学选择性必修第一册

中小学教育资源及组卷应用平台 第一章 空间向量与立体几何 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5分）已知向量（0，1，﹣1），（2，1，0），且k与2互相垂直，则k的值为（　　） A．1 B．﹣1 C． D． 2．（5分）已知平面α，β的法向量分别为（其中λ，μ∈R），若α∥β，则λ+μ的值为（　　） A． B．﹣5 C． D．5 3．（5分）与向量（2，3，6）共线的单位向量是（　　） A．（，，） B．（，，） C．（，，）和（，，） D．（，，）和（，，） 4．（5分）如图，正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，E是棱BC的中点，G是棱DD′的中点，则异面直线GB与B′E所成的角为（　　） A．120° B．90° C．60° D．30° 5．（5分）在空间四边形OABC中，点M在线段OA上，且，点N为BC的中点．若，，，则等于（　　） A． B． C． D． 6．（5分）如图，在空间四边形ABCD中，设E，F分别是BC，CD的中点，则（）等于（　　） A． B． C． D． 7．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是上底棱的中点，AB1与平面B1D1EF所成的角的大小是（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 8．（5分）已知ABC﹣A1B1C1是各棱长均等于a的正三棱柱，D是侧棱CC1的中点，则平面ABC与平面AB1D所成的锐二面角为（　　） A．45° B．60° C．75° D．30° 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．（5分）已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果（2，﹣1，﹣4），（4，2，0），（﹣1，2，﹣1）．对于结论： ①AP⊥AB； ②AP⊥AD； ③是平面ABCD的法向量； ④∥． 其中正确的是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 10．（5分）如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则（　　） A．直线BM，EN是相交直线 B．直线EN与直线AB所成角等于90° C．直线EC与直线AB所成角等于直线EC与直线AD所成角 D．直线BM与平面ABCD所成角小于直线EN平面ABCD所成角 11．（5分）将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A﹣BD﹣C，有如下四个结论： ①AC⊥BD； ②△ACD是等边三角形； ③直线AB与平面BCD所成的角是60°； ④异面直线AB与CD所成角为60°． 其中错误结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 12．（5分）设是空间一个基底，下列选项中正确的是（　　） A．若，，则 B．则两两共面，但不可能共面 C．对空间任一向量，总存在有序实数组（x，y，z），使 D．则，，一定能构成空间的一个基底 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．（5分）已知A（2，﹣5，1），B（2，﹣4，2），C（1，﹣4，1），则与的夹角为 　 　 ． 14．（5分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，AD，DC＝SD＝2，点M在侧棱SC上，∠ABM＝60°．若以DA，DC，DS，分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz，则M的坐标为　 　 ． 15．（5分）已知向量其中a2+b2＝c2+d2＝1，现有以下命题： （1）向量与z轴正方向的夹角恒为定值（即与c，d无关 ）； （2）的最大值为； （3）（的夹角）的最大值为； （4）若定义，则的最大值为． 其中正确的命题有　 　 ．（写出所有正确命题的序号） 16．（5分）已知P为棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1内（含正方体表面）任意一点，则的最大值为　 　 ． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，设，，，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用表示以下各向量： （1）； （2）． 18．（12分）如图，在四棱锥 ... ...