第一章 空间向量与立体几何（培优卷.含解析）2025-2026学年人教A版（2019）数学选择性必修第一册

中小学教育资源及组卷应用平台 第一章 空间向量与立体几何 一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知∠ABC＝90°，P为侧棱CC1上任意一点，Q为棱AB上任意一点，PQ与AB所成角为α，PQ与平面ABC所成的角为β，则α与β的大小关系为（　　） A．α＝β B．α＜β C．α＞β D．不能确定 2．如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是底面A1B1C1D1内（含边界）的一点，且AP∥平面DBC1，则异面直线A1P与BD所成角的取值范围为（　　） A．[] B．[] C．[] D．[] 3．点P是棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD上一点，则 的取值范围是（　　） A． B． C．[﹣1，0] D． 4．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在底面ABCD上移动，且满足B1P⊥D1E，则线段B1P的长度的最大值为（　　） A． B．2 C． D．3 5．如图，在四面体OABC中，D是BC的中点，G是AD的中点，则等于（　　） A． B． C． D． 6．三棱锥O﹣ABC中，M，N分别是AB，OC的中点，且，，，用，，表示，则等于（　　） A．（） B．（） C．（） D．（） 7．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA1＝2且∠A1AD＝∠A1AB＝60°，则AC1＝（　　） A． B． C． D． 8．对空间任一点O和不共线三点A，B，C，能得到P，A，B，C四点共面的是（　　） A． B． C． D．以上皆错 二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9．如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（　　） A． B． C．向量与的夹角是60° D．BD1与AC所成角的余弦值为 10．正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1AB，则（　　） A．AC1与底面ABC的成角的正弦值为 B．AC1与底面ABC的成角的正弦值为 C．AC1与侧面AA1B1B的成角的正弦值为 D．AC1与侧面AA1B1B的成角的正弦值为 11．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A﹣BD﹣C，有如下四个结论： ①AC⊥BD； ②△ACD是等边三角形； ③直线AB与平面BCD所成的角是60°； ④异面直线AB与CD所成角为60°． 其中错误结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 12．下列命题中正确的是（　　） A．A，B，M，N是空间中的四点，若，，不能构成空间基底，则A，B，M，N共面 B．已知为空间的一个基底，若，则也是空间的基底 C．若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则直线l∥α D．若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则直线l与平面α所成角的正弦值为 三、填空题：本题共4小题． 13．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝4，AA1＝2，AD＝1，E为CD的中点，则点B1到平面AD1E的距离为 　 　 ． 14．给出下列命题： ①直线l的方向向量为（1，﹣1，2），直线m的方向向量（2，1，），则l与m垂直； ②直线l的方向向量（0，1，﹣1），平面α的法向量（1，﹣1，﹣1），则l⊥α； ③平面α、β的法向量分别为（0，1，3），（1，0，2），则α∥β； ④平面α经过三点A（1，0，﹣1），B（0，1，0），C（﹣1，2，0），向量（1，u，t）是平面α的法向量，则u+t＝1． 其中真命题的是　 　 ．（把你认为正确命题的序号都填上） 15．已知（2，﹣1，2），（2，2，1），则以、为邻边的平行四边形的面积为　 　 ． 16．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD中点，若，，，则　 　 ． 四、解答题：本题共6小题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．在多面体ABCDE中，平面ACDE⊥平面ABC，四边形ACDE为直角梯形，CD∥AE，AC⊥AE，AB⊥BC，CD＝1，AE＝AC＝2，F为DE的中点，且点E满足． （1）证明：GF∥平面ABC； （2）当多面 ... ...