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课件网) 1.7 角平分线的性质 第1章 三角形的初步知识 学习目标 1.理解角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等. 2.能利用角平分线的性质解决问题. 课程引入 工人师傅用角尺来平分一个角.如图，∠AOB是任意角，在OA，OB上分 别取OM=ON.移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，过角 尺顶点C的射线OC就是∠AOB的平分线.想一想，这种方法的依据是什么？ 由此你能想到怎样作一个角的平分线？ 课本例题 例1.已知∠BAC，如图，用直尺和圆规作∠BAC的平分线AD. 分析：如果能找到∠BAC的平分线上一点D，那么射线AD就是∠BAC的 平分线.由于角平分线把角分成两个相等的角，因此可以想象通过作两个 全等三角形来作出点D. C B A 自己尝试在草纸上作图，和大家一起讨论你的作法. 课本例题 1.以点A为圆心，适当长为半径作弧，与角的两边分别交于E，F两点. 解：作法如下， 射线AD就是所求作的∠BAC的平分线. D E F 2.分别以E，F为圆心，大于EF长为半径作弧，两条弧交于∠BAC内一点D. 3. 作射线AD. 由作法可得△ADF≌△ADE（为什么？）， 所以∠1=∠2（全等三角形的对应角相等）， 即AD平分∠BAC. 事实上，如图，连结DE，DF. 归纳新知 角平分线上的点到角两边的距离相等. 角平分线的性质定理： 且PB⊥AB，PC⊥AC（已知）. ∴PB=PC（角平分线的性质）. ∵AP是∠BAC的角平分线， 几何语言： A B C P 课本例题 例2.已知：如图，AB∥CD，PB和PC分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直.求证：PA=PD. 分析：由AB∥CD，AD⊥AB，可得AD⊥CD，则PA，PD的长分别是点P到 AB，CD的距离.根据角平分线的性质定理知，它们与点P到BC的距离相等. 因此，可先作出点P到BC的垂线段. 问题探究 ∵AB∥CD（已知），∴∠BAD+∠CDA=180°. ∵AD⊥AB. ∴∠BAD=90°（垂直的定义）. ∴∠CDA=180°-∠BAD=180°-90°=90°. ∴AD⊥CD（垂直的定义）. ∵PB平分∠ABC（已知）， ∴PA=PE（角平分线上的点到角两边的距离相等）. 同理，PD=PE. ∴PA=PE=PD. E 证明：如图，作PE⊥BC于点E. 课堂练习 1.如图，OP是∠AOB的平分线，点C，D分别在角的两边OA，OB上， 添加下列条件，不能判定△POC≌△POD的选项是( ) A.PC⊥OA，PD⊥OB B.OC=OD C.∠OPC=∠OPD D.PC=PD D 2.如图，已知相交直线AB和CD，及另一直线MN，如果要在MN上找出与 AB、CD距离相等的点，则这样的点至少有____个，最多有____个. 2 1 课堂练习 3.如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C，D. 下列结论错误的是( ) A.PC=PD B.∠CPO=∠DOP C.∠CPO=∠DPO D.OC=OD B 课堂练习 4.通过学习我们已经知道三角形的三条内角平分线是交于一点的. 如图，P是△ABC的内角平分线的交点，已知P点到AB边的距离为1， △ABC的周长为10，则△ABC的面积为____. 5 课堂练习 课堂练习 5.直角△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，AB=10，CD=3. 回答：（1）求DE的长；（2）求△ADB的面积. 解：（1）∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠EAD， ∵DE⊥AB，∠C＝90°，∴∠C=∠DEA=90°， 又∵AD为公共边，∴△ACD≌△AED，∴CD=DE. ∵CD=3，∴DE=3. （2）∵AB=10，DE=3 ∴△ADB的面积为15. 课堂练习 6.如图，已知△ABC，求作点P，使点P到B，C两点的距离相等，且点 P到∠BAC 两边的距离也相等（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹， 不写作法）. A B C 解：如图，点P即为所求. P 本课结束 ... ...
