河北省秦皇岛市第一中学2024-2025学年高二下学期期末考试数学试卷（含答案）

河北省秦皇岛市第一中学2024-2025学年高二年级下学期期末考试 数学答案 注意事项: 1.本试题共两部分，满分100分，时间75分钟。 2.阅卷老师应严格按照此答案进行阅卷，必要时可增加答案要点，但应该提前与阅卷组组长沟通并通知阅卷组。 3.请各位考生按照答案中评分标准认真核对。 4.阅卷结束后，阅卷老师请与阅卷公司核对阅卷结果是否已经上传，无误之后即可结束阅卷。 1—5 CBDAA 6—8 CAD 9. ACD 10. AC 11. AC 12. 13.-2 14. 15. 【解题思路】 (1) 第一步：计算相关数据，补全列联表 8月份的订单中，好评订单有（个），非好评订单有（个）。 9月份的订单中，非好评订单有（个）。 （3分） 故补全的列联表如下表所示： 好评订单个数 非好评订单个数 合计 服务改进前 850 150 1000 服务改进后 1400 100 1500 合计 2250 250 2500 （4分） 第二步：写出零假设，计算的值并与临界值比较 零假设：该饭店9月份订单的好评与服务改进无关。 ， （6分） 第三步：得结论 所以根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即该饭店9月份订单的好评与服务改进有关，该推断犯错误的概率不超过0.01。 （7分） (2) 第一步：利用分层随机抽样的有关知识确定抽取的20个订单中好评、非好评的数量 利用分层随机抽样的方法抽取20个订单，则好评订单应抽取（个）， （9分） 非好评订单应抽取（个）。 （10分） 第二步：利用古典概型的概率计算公式求解 设“从这20个订单中随机抽取3个订单进行电话访谈，其中恰好有2个订单为好评订单”为事件，则。 （13分） 16. 【解题思路】 (1) 第一步：利用两角差的余弦公式化简已知等式 由可得，（易错：利用两角差的余弦公式展开时符号出错） 即， （2分） 第二步：利用正弦定理、三角形内角和定理、诱导公式、两角和的正弦公式等求 由正弦定理可得，（4分） 又， ， 又，，（点拨：两边同时消去时要说明） （5分） 第三步：根据三角形内角的范围求角 又，。 （6分） (2) 解法一 第一步：利用余弦定理及，之间的关系将用表示出来 在与中，分别利用余弦定理可得， ， （7分） ， （8分） 易知，（点拨：，故，即） 故， 。 （9分） 第二步：利用正弦定理将化边为角 由正弦定理可得， 故，， （11分） 。（技巧：利用正弦定理化边为角） （13分） 第三步：结合角的范围及三角函数的图象与性质求的取值范围 由可得， ，故， 的取值范围为， 故的取值范围为。（技巧：积累一些常见的数的平方，如） （15分） 解法二 第一步：利用向量知识及余弦定理得到的表达式 由题意得， 则。 在中，由余弦定理得， 则， 则。 （9分） 第二步：利用基本不等式求出的范围，即可得解 由，得， （12分） ，， 故的取值范围为。 （15分） 17. 【解题思路】 (1) 第一步：证明线线垂直 由题意可得平面，平面， 。 （2分） ，。 （3分） 第二步：证明线面垂直 ，且平面，（利用线面垂直的判定定理证明线面垂直时要说明两条直线是平面内的两条相交直线） 平面。 （5分） 第三步：证明线线垂直 又平面， 。（方法：证明线线垂直时，往往要先证明线面垂直，然后利用线面垂直证明线线垂直） （6分） (2) 第一步：建立空间直角坐标系，设，求相关点、相关向量的坐标 以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系。 设， 则，，，， 故，，。 （8分） 第二步：分别求平面、平面的法向量 设平面的法向量为n1 ， 由可得， 令可得 。（点拨：赋值时应尽量使所求向量简单） （9分） 设平面的法向量为， 由可得， 令可得。 （10分） 第三步：根据二面角的余弦值求的值 由二面角的余弦值为，可得 ，（点拨：两法向量的夹角与二面角可能相等，也可能互补） 解得。 （12分） 第四步：求直线与平面所成角的余弦值 则， 易知平面的一个法 ... ...