7．2.2　单位圆与三角函数线 导学案（含答案）

7．2.2　单位圆与三角函数线 【课程标准】　1.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.2.了解三角函数线的意义． 教 材 要 点 知识点一　有向线段 1．有向线段：规定了方向(即规定了起点和终点)的_____． 2．有向线段数量：根据有向线段与有向直线l的方向_____或_____，分别把它的长度添上正号和负号，这样得的数叫做有向线段的_____． 3．单位圆：圆心在原点，半径等于_____的圆． 知识点二　单位圆与三角函数 在平面直角坐标系中，坐标满足x2＋y2＝1的点构成的集合，角α的终边与单位圆相交于点P(x，y)，如图，则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝，则角α的终边与单位圆的交点为P(cos α，sin α)． 知识点三　三角函数线 三角函数线：如图，设单位圆与x轴的正半轴交于点A，与角α的终边交于点P.过点P作x轴的垂线PM，垂足为M，过点A作单位圆的切线交OP的延长线(或反向延长线)于点T.单位圆中的有向线段分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线．记作：sin α＝，cos α＝，tan α＝． 【学霸笔记】　三角函数线的方向是怎样确定的？ [提示]　三角函数线的方向，即规定的有向线段的方向：凡三角函数线与x轴或y轴同向的相应三角函数值为正值，反向的为负值． 　基 础 自 测 1．已知角α的正弦线和余弦线的方向相反、长度相等，则角α的终边在(　　) A．第一象限的角平分线上 B．第四象限的角平分线上 C．第二、第四象限的角平分线上 D．第一、第三象限的角平分线上 2．如图，在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是(　　) A．正弦线，正切线 B．正弦线，正切线 C．正弦线，正切线 D．正弦线，正切线 3．下面四个选项中大小关系正确的是(　　) A．sin cos C．cos ，则角α的取值范围是(　　) A．(－) B．(0，) C．(，2π) D．(0，，2π) 5．角的终边与单位圆的交点的坐标是_____． 题型1三角函数线的概念 例1作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线： (1)；(2)－；(3)－；(4). 总结 1．作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得到正弦线和余弦线． 2．作正切线时，应从A(1，0)点引单位圆的切线交角的终边于一点T，即可得到正切线，要特别注意，当角的终边在第二或第三象限时，应将角的终边反向延长，再按上述作法来作正切线． 跟踪训练1　(1)下列四个命题中： ①α一定时，单位圆中的正弦线一定； ②单位圆中，有相同正弦线的角相等； ③α和α＋π有相同的正切线； ④具有相同正切线的两个角的终边在同一条直线上． 不正确命题的个数是(　　) A．0　　　B．1　　　C．2　　　D．3 (2)作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线： ①； ②； ③； ④－. 题型2利用单位圆探讨三角函数的单调性 【思考探究】　1.为什么在三角函数线上，点P的坐标为(cos α，sin α)，点T的坐标为(1，tan α) 呢？ [提示]　由三角函数的定义可知sin α＝，cos α＝，而在单位圆中，r＝1，所以单位圆上的点都是(cos α，sin α)；另外角的终边与直线x＝1的交点的横坐标都是1，所以根据tan α＝，知纵坐标y ＝tan α，所以点T的坐标为(1，tan α)． 2．如何利用三角函数线比较大小？ [提示]　利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三步：(1)角的位置要“对号入座”；(2)比较三角函数线的长度；(3)确定有向线段的正负． 例2(1)在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合． ①sin α≥；②cos α≤－. 总结　作出满足sin α＝，cos α＝－的角的终边，然后根据已知条件和三角函数的单调性确定角α终边的范围． (2)(多选)已知sin α>sin β，那么下列命题正确的是(　　) A．若角 ... ...