7.3.5 已知三角函数值求角 导学案（含答案）

7．3.5　已知三角函数值求角 【课程标准】　会利用已知的三角函数值求相应的角． 教 材 要 点 知识点一　已知三角函数值求角相关概念 1．已知正弦值求角 对于正弦函数y＝sin x，在区间[－]内，满足sin x＝y(y∈[－1，1])的x只有一个，这个x记作_____． 2．已知余弦值求角 对于余弦函数y＝cos x，在区间[0，π]内，满足cos x＝y(y∈[－1，1])的x只有一个，这个x记作_____． 3．已知正切值求角 对于正切函数y＝tan x，在区间(－)内，满足tan x＝y(y∈R)的x只有一个，这个x记作_____． 知识点二　已知三角函数值求角或角的范围的方法 1．利用三角函数线求角 在单位圆中，是正弦线，是余弦线，是正切线，作出三角函数线，即可求得角的大小． 2．利用三角函数图象求角或角的范围 用三角函数图象解sin x>a(或cos x>a)的方法 (1)作出直线y＝a，y＝sin x(或y＝cos x)的图象； (2)确定sin x＝a(或cos x＝a)的_____值； (3)选取一个合适的周期写出sin x>a(或cos x>a)的_____，要尽量使解集为一个连续区间． 知识点三　已知三角函数值求角的相关规律 1．对于已知正弦值求角的规律 2.利用余弦值求角、解不等式规律 将ωx＋φ看作整体，先求出[0，2π]或[－π，π]的角，再通过周期推广到整个定义域内，最后解出x的值或范围． 3．已知正切值求角的规律 可先求出(－)内的角，再由y＝tan x的周期性表示所给范围内的角，tan x＝a(a∈R)的解集为{x|x＝kπ＋arctan a，k∈Z}． 基 础 自 测 1．若α是锐角，sin (α＋15°)＝，那么锐角α＝(　　) A．15° B．30° C．45° D．60° 2．已知α∈(0，2π)，且cos α＝cos ，则α＝(　　) A． B．或 C．或 D．或 3．已知tan 2x＝－，且x∈[0，π]，则x＝_____． 4．已知cos x＝－，x∈[－2π，2π]，则满足条件的角x的集合是_____． 5．已知sin α＝，若<α<π，用反正弦符号表示α为_____． 题型1已知正弦值求角 尝试借助正弦曲线及所给角的范围求解． 例1已知sin x＝. (1)当x∈[－]时，求x的取值集合； (2)当x∈[0，2π]时，求x的取值集合； (3)当x∈R时，求x的取值集合； 利用三角函数线、图象结合周期性求解集． (4)求不等式sin x<－的解集． 总结 1．给值求角问题，由于范围不同，所得的角可能不同，一定要注意范围条件的约束作用． 2．对于已知正弦值求角有如下规律：sin x＝a(－1≤a≤1)，当x∈R时，可先求得[0，2π]内的所有解α，π－α，再利用周期性可求得{x|x＝2kπ＋α，或x＝2kπ＋π－α，k∈Z}． 跟踪训练1　(1)已知函数f(x)＝2sin (ωx＋)(ω>0)的最小正周期为π，则方程f(x)＝1在(0，π]上的解集为_____. (2)求不等式sin x>－的解集． 题型2已知余弦值求角 例2(1)已知cos x＝－. ①当x∈[0，π]时，求x的值； ②当x∈R时，求x的取值集合． (2)已知cos (2x－)＝，求x. (3)求不等式cos (x＋)>－的解集． 总结　(1)，(2)利用余弦线、图象求值． (3)先求出相等时的x值，再写出满足不等式的x的范围． 跟踪训练2　(1)(多选)若cos (3x＋)＝，则x可以是(　　) A． B． C． D． (2)求不等式2cos (2x＋)－<0的解集． 总结 cos x＝a(－1≤a≤1)，当x∈R时，可先求得[0，2π]内的所有解α，2π－α，再利用周期性可求得：{x|x＝2kπ±α，k∈Z}． 题型3已知正切值求角 例3(1)已知tan α＝1. ①若α∈(－)，求角α； ②若α∈R，求角α. (2)已知f(x)＝tan (3x－)，求使f(x)≤－成立的x的集合． 总结　利用正切线或图象求值，先求x的范围，再根据周期写解集． 总结 1．已知角的正切值求角，可先求出(－)内的角α，再由y＝tan x的周期性表示所给范围内的角. 2．tan x＝a，a∈R的解集为{x|x＝kπ＋α，k∈Z}． 跟踪训练3　(1)已知角x∈[0，π)，且满足tan (2x－)＝1，则角x为_____． (2)当0