8．2.2 第1课时 两角和与差的正弦 【课程标准】 1.能从两角和与差的余弦公式推导出两角和与差的正弦公式，了解它们的内在联系.2.能运用上述公式进行简单的恒等变换． 教 材 要 点 知识点一 两角和与差的正弦公式 1．Sα＋β：sin (α＋β)＝_____． 2．Sα－β：sin (α－β)＝_____． 【公式理解】 1．角α，β都是任意角； 2．两角和与差的正弦公式不能按分配律展开，即sin (α±β)≠sin α±sin β； 3．注意公式的变形运用 (1)逆用：如sin (α＋β)cos β－cos (α＋β)sin β＝sin [(α＋β)－β]＝sin α； (2)变形运用：变形运用涉及两个方面，一是公式的变形，如sin (α－β)＋cos αsin β＝sin αcos β；第二是角的变形运用，即角的拆分变换，如α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)等． 知识点二 辅助角公式 y＝a sin x＋b cos x＝_____sin (x＋θ)(a，b不同时为0)，其中cos θ＝_____，sin θ＝_____. 【学霸笔记】 根据公式C(α±β)的识记规律，你能总结出公式S(α±β)的记忆规律吗？ [提示] 对比公式C(α±β)的识记规律“余余正正，和差相反”可得公式S(α±β)的记忆规律：“正余余正，和差相同”． 基 础 自 测 1.cos 17°sin 13°＋sin 17°cos 13°＝( ) A． B． C． D．以上都不对 2．已知cos α＝，α∈，角β的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点且β∈(0，π)，则α－β＝( ) A． B．－ C． D．－ 3．计算sin ＝( ) A． B． C． D．－ 4．已知α为锐角，sin α＝，β是第四象限角，cos (π＋β)＝－，则sin (α＋β)＝_____． 5．已知点P(3，4)是角α的终边上一点，则sin ＝_____． 题型1利用公式化简求值 例1(1)＝( ) A．－ B．－ C． D． (2)计算sin 50°cos 10°＋sin 40°sin 10°＝_____． (3)求sin (θ＋75°)＋cos (θ＋45°)－cos (θ＋15°)的值． 总结 (1)化简求值应注意公式的逆用． (2)(3)对于非特殊角的三角函数式化简应转化为特殊角的三角函数值． 总结 1．对于非特殊角的三角函数式，要想利用两角和与差的正弦、余弦公式求出具体数值，一般有以下三种途径： (1)化为特殊角的三角函数值； (2)化为正负相消的项，消去，求值； (3)化为分子、分母形式，进行约分再求值． 2．在进行求值过程的变换中，一定要本着先整体后局部的基本原则，先整体分析三角函数式的特点，如果整体符合三角公式，则整体变形，否则进行各局部的变换． 跟踪训练1 (1)计算＝_____． (2)化简－2cos (α＋β)． 题型2给值(式)求值 例2(1)设α∈，β∈，若cos α＝sin β＝，求sin (α＋β)的值． (2)已知sin α＝，cos (α＋β)＝－，且α，β均为锐角． ①求sin (2α＋β)；②求β. 跟踪训练2 已知α∈，β∈，sin ＝，sin ＝，则sin ＝_____． 总结 “给值求值”问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法． (1)把“所求角”用“已知角”表示． ①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式； ②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系． (2)常见的配角方法：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，α＝＝－等． 提醒：解题时要重视角的范围对三角函数值的制约，从而恰当、准确地求出三角函数值． 题型3辅助角公式的应用 【思考探究】 (1)函数y＝sin x＋cos x(x∈R)的最大值为2对吗？为什么？ [提示] 不对．因为sin x＋cos x ＝sin x ＋ ＝＋cos x·sin) ＝sin ， 所以函数的最大值为. (2)函数y＝3sin x ＋4cos x的最大值等于多少？ [提示] 因为y ＝3sin x＋4cos x ＝5(sin x ＋)， 令cos φ＝，sin φ＝， 则y ＝5(si ... ...
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