第十四章 全等三角形 14.2.5 直角三角形全等的判定(HL) 学习目标 1.探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理 2.能运用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等，能运用全等三角形的条件,解决简单的推理证明问题 3.通过画图、比较、验证，培养学生的观察、归纳能力,发展学生的几何直观感知能力与推理能力及不断总结的良好思维习惯 重点：判定两个直角三角形全等 难点：发展学生的几何直观感知能力与推理能力 复习导入 如果要使△ABC和△DEF全等，在下列各种情况下还要添加哪些条件? AB=DE,∠B= ∠ E (2)∠ A= ∠ D, ∠ C= ∠ F (3) AB=DE,BC=EF A C B D E F 如果△ABC和△DEF都是直角三角形， ∠ A= ∠ D=90°，上述问题是否还需要添加的条件？ 感悟新知 知识点1 直角三角形全等的判定(HL) 如图，在△ABC和△A ' B ' C ' ，∠C ' =∠C=90°，A'B'=AB，B'C'=BC.这两个三角形全等吗? A B C ┐ A ' B ' C ' ┐ （C ' ） C ┐ A（A ' ） B(B') 感悟新知 知识点1 直角三角形全等的判定(HL) 文字语言： 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 （简写成“斜边、直角边”或“HL”）. 几何语言： A B C A ′ B′ C ′ ∴Rt△ABC ≌ Rt△ A′B′C′ (HL). AB=A′B′, BC=B′C′, 在Rt△ABC和Rt△ A′B′C′ 中， “HL”判定方法应用要先特指直角三角形 “HL”判定方法中两条边特指斜边与一条直角边 注意：两个直角三角形如果是两条直角边对应相等则要用“SAS”方法判定 针对训练 1.判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明理由： （1）一个锐角和这个角的对边对应相等；（ ） （2）一个锐角和这个角的邻边对应相等；（ ） （3）一个锐角和斜边对应相等； （ ） （4）两直角边对应相等； （ ） （5）一条直角边和斜边对应相等． （ ） HL ASA SAS AAS AAS A B C A ′ B′ C ′ 典例解析 题型1 运用HL证明直角三角形全等 例 1. 如图， AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为 C，D，AC = BD. 求证 BC = AD. C D B A 证明：∵ AC⊥BC，BD⊥AD， ∴∠C =∠D = 90°. ∴Rt△ACD ≌Rt△ABE （HL） AB = BA（公共边） AC = BD（已知） ∴ BC = AD . 在 Rt△ABC 和Rt△BAD 中， ∵ 变式 如果AC与BD交于O点，求证： Rt△ BOC ≌ Rt△ AOD O 针对训练 2.如图,已知BE⊥CD于点E,且BE=DE,BC=DA,延长DA交BC于点F.求证: (1)△BEC≌△DEA; (2)BC⊥FD. 证明:(1)∵BE⊥CD, ∴∠BEC=∠DEA=90°. 在Rt△BEC和Rt△DEA中, ????????=????????,????????=????????, ∴Rt△BEC≌Rt△DEA(HL). ? (2)由(1)知△BEC≌△DEA, ∴∠B=∠D. 又∵∠C+∠B=90°, ∴∠C+∠D=90°, 即∠BFA=90°, ∴BC⊥FD. 针对训练 3.如图,AC⊥AD,BC⊥BD,AC=BD,求证:AD=BC. 证明:如答案图,连接DC. ∵AC⊥AD,BC⊥BD, ∴∠A=∠B=90°. 在Rt△ADC和Rt△BCD中,????????=????????,????????=????????, ∴Rt△ADC≌Rt△BCD(HL), ∴AD=BC. ? 针对训练 4.如图,在△ABC中,AB=AC,DE是过点A的直线,BD⊥DE于点D,CE⊥DE于点E. (1)若点B,C在DE的同侧(如图1),且AD=CE,求证:AB⊥AC; (2)若点B,C在DE的两侧(如图2),且AD=CE,其他条件不变,AB与AC仍垂直吗?若是,请给出证明;若不是,请说明理由. (1)证明:∵BD⊥DE,CE⊥DE, ∴∠ADB=∠AEC=90°. 在Rt△ABD和Rt△CAE中, ????????=????????,????????=????????, ∴Rt△ABD≌Rt△CAE(HL), ∴∠DAB=∠ECA. ∵∠EAC+∠ECA=90°, ∴∠EAC+∠DAB=90°, ∴∠BAC=180°-(∠EAC+∠DAB)=90°, ∴AB⊥AC. ? (2)解:AB⊥AC.证明如下: 同(1)可证得Rt△ABD≌Rt△CAE, ∴∠DAB=∠ECA. ∵∠CAE+∠ECA=90°, ∴∠CAE+∠DAB=90°,即∠BAC=90°, ∴AB⊥AC. 针对训练 5.如图,已知DE⊥AC于点E,BF⊥AC于点F,AD=CB,DE=BF,求证:AB∥DC. 证明:∵DE⊥AC,BF⊥ ... ...
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