高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册 第一章 空间向量与立体几何1.2 空间向量基本定理 一、单项选择题 1.若是空间的一个基底，则下列可与向量，构成一个基底的向量是（ ） A. B. C. D. 2.如图，在四棱锥中，四边形为平行四边形，与交于点，点为上一点，，，，，用基底表示向量（ ） A. B. C. D. 3.如图，在四面体中，，，，点是的中点，点在上，且，设，则，，的值为（ ） A. B. C. D. 4.如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，分别为棱，上的点，，，设，，，则向量可用基底表示为（ ） A. B. C. D. 5.如图，在三棱台中，，是的中点，是的中点，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 6.如图，在平行六面体中，，，，，则（ ） A. 1 B. C. 9 D. 3 二、多项选择题 7.平行六面体中，可以构成空间的一个基底的是（ ） A. B. C. D. 8.给出下列命题，其中正确的有（ ） A. 空间任意三个向量都可以构成一个基底 B. 已知向量，则，与任何向量都不能构成空间的一个基底 C. 对空间任一向量，存在唯一的有序实数组，使得 D. 如果，是两个单位向量，那么 9. 下列关于空间向量的命题中，正确的是（ ） A．若空间向量，满足，则 B．若非零向量，满足，则有 C．若是空间的一组基底，且，则四点共面 D．若向量是空间的一组基底，则也是空间的一组基底 三、填空题 10.已知向量，，构成空间的一个单位正交基底，若，且，则_____. 11.如图，在平行六面体中，为棱的中点，为棱上一点，记，若，则_____. 12.如图，在堑堵中（底面为直角三角形的直棱柱），，分别是，的中点，，动点在线段上运动，若，则_____. 四、解答题 13.如图，在四棱锥中，底面是边长为3的菱形，，，记，，。 （1）用基底表示向量，； （2）利用空间向量证明； （3）求的长。 14.如图，在六棱柱中，底面是正六边形，设，，。 （1）用，，表示，； （2）若，，，求： ； 。 15.如图，在直三棱柱中，，，，点在棱上，，，，分别为棱，，的中点，与相交于点。求证： （1）平面； （2）平面平面。 一、单项选择题 1.答案：C 解析：空间向量构成基底的充要条件是三个向量不共面。 已知是空间基底，故两两不共面。 对选项A：，即可由、线性表示，共面，不能构成基底； 对选项B：，即可由、线性表示，共面，不能构成基底； 对选项C：假设，整理得，系数对应无实数解，故与、不共面，可构成基底； 对选项D：，即可由、线性表示，共面，不能构成基底。 2.答案：A 解析：利用向量线性运算逐步推导： 四边形为平行四边形，故。 由、、，得，，因此。 由，得。 最终。 3.答案：C 解析：用向量中点性质与共线关系表示： 是中点，故。 在上且，故。 由，得，故、、。 4.答案：D 解析：建立“基底+坐标”双重验证： 设、、，则，，。 由向量加法：。 5.答案：C 解析：利用三棱台比例关系与中点性质： 设、、，由三棱台性质得、。 是中点，故。 ，是中点，故。 对比，得、、，故。 6.答案：D 解析：用向量模长公式计算： 平行六面体中，模长平方为： 代入条件：、，，，得： 二、多项选择题 7.答案：AC 解析：判断向量是否共面： 选项A：、、分别对应平行六面体从出发的“体对角线+面对角线”，三者不共面，可构成基底； 选项B：，即可由、线性表示，共面，不能构成基底； 选项C：、、对应从出发的三条棱，两两垂直且不共面，可构成基底； 选项D：，即可由、线性表示，共面，不能构成基底。 8.答案：BD 解析：逐一分析命题正确性： 选项A：空间中共面的三个向量不能构成基底（如三条平行向量），需“不共面”，故A错误； 选项B：若，则与共线，根据基底定义，共线向量无法与第三个向量构成基底，故B正确； 选项C：仅当是空间基底时，对任意向量，存在唯一有序实数组使，缺少“基底”条件，故C错误； ... ...
