3.2.1 函数的单调性与最值 学习目标 1.借助函数图象,会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值. 2.会用定义法证明函数的单调性. 3.理解函数单调性和最值的作用和实际意义. 变化中的不变性就是性质，变化中的规律性也是性质.给定一个函数的解析式或图象,你能不能从中看出这个函数的性质呢? 导入新课 函数尽管千变万化,但函数值毕竟是实数,实数变化,无非是变大变小.要问函数的性质,首先在大小上做文章.大,大到什么程度,上面封顶不封顶?小,小到什么程度,下面保底不保底? 概括来说,对函数性质的研究,我们首先关心的是函数值的变化范围(封顶和保底)和变化趋势(走高和下滑).即函数的单调性和最值. 导入新课 下图是某报2016年11月刊登的上海证券交易所综合股价指数(简称上证指数)一年多来的走势曲线图. 从图上能得到什么信息？ ? 自2015年6月份以来,上证指数从最高点震荡后总体一路下跌,虽中途偶有攀升,但到2016年2月份震荡下跌,几乎到最低点.随后又回升至3000点,呈现平稳的态势. 从图上观察函数的性质,如果只靠眼睛观察得到的认识是否准确呢? 从有界限的图怎能看出函数值是无界限的呢? 描点连线画图的可靠性如何保证呢? 思考 上图是计算机用描点连线的方法画出的同一个函数的两个图象.虚线是取10个点描出的,实线是取50个点描出的,两者明显不同. 新课学习 可见,光靠描点作图看图来研究函数的性质还不够.从解析式出发研究函数性质，在数学推理的指导下画图,对函数的性质会了解得更全面、更准确,为此要用更严密的数学语言来描述函数的性质. 想一想：观察上面三个函数的图象，我们发现它们都有最大值，怎么用数学语言来描述函数的最大值呢？ 设????是函数????(????)的定义域，????是????的一个非空子集. (1)函数的最大值 如果有????∈????，使得不等式????(????)≤????(????)对一切????∈????成立，就说????(????)在????=????处取到最大值????=????(????)，称????为????(????)的最大值，????为????(????)的最大值点. ? 新课学习 最小值和最小值点呢？ 如果有????∈????，使得不等式????(????)≥????(????)对一切????∈????成立，就说????(????)在????=????处取到最小值????=????(????)，称????为????(????)的最小值，????为????(????)的最小值点. ? 最大值和最小值统称为最值. (1)最大(小)值的几何意义：函数图象最高(低)点的纵坐标. (2)并不是所有的函数都有最大(小)值，比如????＝????，????∈R. (3)一个函数至多有一个最大(小)值. (4)对于定义域内的任意????都满足????(????)≤????(????(????)≥????)，????不一定是函数????(????)的最大(小)值，只有定义域内存在一点????0，使????(????0)＝????时，????才是函数的最大(小)值，否则不是. ? 新课学习 对最值定义的理解 如果对于区间????上任意两个值????1,????2,当????1＜????2时,都有????(????1)＜????(????2), 就称????(????)是区间????上的增函数,也称????(????)在区间????上单调递增. 如果对于区间????上任意两个值????1,????2,当????1＜????2时,都有????(????1)＞????(????2)， 就称????(????)是区间????上的减函数,也称????(????)在区间????上单调递减. ? 如果函数????=????(?????)在区间????上是增函数或减函数，那么就说函数????=????(?????)在这一区间上具有(严格的)单调性,区间????叫作????=????(?????)的单调区间. ? (2)函数的单调性 1.函数的单调性是函数在某个区间上的性质（局部性质）,这个区间可以是整个定义域,也可以是定义域的一部分,也就是单调区间是定义域的某个非空子集. 2.对于单独一点,由于它的函数值是唯一确定的常数,没有增减变化,所以不存在单调性问题,因此在书写单调区间时,可以包括端点,也可以不包括端点,但在某些点无意义时,单调区间不能包括这些点. ... ...
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