3.2.2 函数的奇偶性 课件（19页） 2025-2026学年湘教版（2019）高中数学必修第一册

3.2.2 函数的奇偶性 学习目标 1.结合具体函数了解奇函数、偶函数的概念. 2.会判断函数的奇偶性. 3.根据奇偶性求函数值或解析式. 导入新课 图（1）中的两个函数图象都是我们熟悉的,它们有什么共同点? （1） （2） 图（2）中的两个函数图象都是我们熟悉的,它们有什么共同点? 轴对称 图形， 对称轴 是????轴 ? 中心对称图形，对称中心为原点 新课学习 如果????(?????)的图象是以????轴为对称轴的轴对称图形,就称????(?????)是偶函数. 如果????(?????)的图象是以原点为中心的中心对称图形,就称????(?????)是奇函数. ? 怎样用数学符号语言来描述函数的奇偶性呢? 直线AB平行于????轴，????(?????)=????(????) ? 思考 如果对一切使????(????)有定义的????,????(?????)也有定义,并且????(?????)=????(????).则称????(?????)为偶函数. ? ???? ? ???? ? ????(????,????(????)) ? ????(-????,????(?????)) ? ???? ? -???? ? 新课学习 ????(????,????(????)) ? ????(-????,?????(????)) ? A,B关于原点对称，????(?????)=?????(????) ? ? 如果对一切使????(????)有定义的????，????(?????)也有定义，并且????(?????)=?????(????),?则称????(????)为奇函数. ? (1)定义域????具有对称性,即?????∈????，－????∈????,也就是说奇、偶函数的定义域要关于原点对称,定义域不关于原点对称时,????(????)是非奇非偶函数. (2)当????(????)的定义域关于原点对称时,要看????(????)与????(－????)的关系： ①????(－????)＝????(????)?????(????)是偶函数； ②????(－????)＝－????(????)?????(????)是奇函数； ③????(－????)≠±????(????)?????(????)是非奇非偶函数； ④????(－????)＝±????(????)?????(????)既是奇函数又是偶函数. 这样的函数只有一类，即????(????)＝0，????∈????，且????关于原点对称. ? 新课学习 对奇偶性的理解 ？ 想一想: 函数????(????)=????????2+????????+???? 在什么条件下是偶函数?在什么条件下是奇函数? 在什么条下是非奇非偶的函数? 在什么条件下既是奇函数又是偶函数? ? 偶函数：当且仅当????=0 ? ????(????)=????????2+????????+???? 的定义域是R ? 奇函数：当且仅当????=0且????=0 ? 非奇非偶函数：当????≠0且不满足????=0且????=0 ? 既是奇函数又是偶函数：当且仅当????=0，????=0，????=0 ? 例题解析 例1 判断下列函数的奇偶性： （1）????(????)=????2+∣????∣ (2)g(????)=????+????????；（3）?(????)=????3(????∈[-2,5]). ? 解：（1）函数????(????)的定义域为R.因为对?????∈????,均有?????∈????,且 ????(?????)=(?????)2+∣?????∣=????2+∣????∣=????(????)，所以????(????)为偶函数. ? （2）函数g(????)的定义域为{????∣????≠0}.因为对?????∈{????∣????≠0},均有?????∈{????∣????≠0},且g(?????)=?????+????(?????)=?(????+????????)=?g(????),所以g(????)为奇函数. ? （3）因为?(????)的定义域关于原点不对称，所以?(????)既不是奇函数也不是偶函数. ? 例题解析 例2 设g(????)是定义于[-5，5]上的函数，且????(????)=g(????)+g(?????)讨论????(????)的奇偶性；如果在[0，5]上????(????)=1?2????,试求????(????)在[-5 ,0]上的表达式. ? 解:因为g(????)的定义域为[?5,5], 所以????(????)=g(????)+g(?????)的定义域也为[?5,5]. 又????(?????)=g(?????)+g(?(?????))=g(?????)+g(????)=????(????),? 所以????(????)为偶函数. 当????∈[—5,0]时,?????∈[0,5] , 由偶函数的性质得????(????)=????(?????)=1?2(?????)=1+2????. ? 课堂练习 1.判断下列函数的奇偶性： （1）????(????)=2?∣????∣； （2）????(????)=????2?1+1?????2； （3）????(????)=?????????1; （4）????(????)=????+1,????>0????? ... ...