教学设计 二次函数 二次函数所描述的关系 一、教学目标 1．探索并归纳二次函数的定义． 2．能够表示简单变量之间的二次函数关系． 3．经历探索，分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系． 教学重点：二次函数的概念 教学难点：经历探索，分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程 二、教学过程 （一）创设问题情境，引入新课 某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子．现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子． (1)问题中有哪些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？ (2)假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？ (3)如果果园橙子的总产量为y个，那么请你写出y与x之间的关系式． （4）大家根据刚才的分析，判断一下上式中的y是否是x的函数？若是函数，与原来学过的函数相同吗？ 请大家先独立思考，再互相交流后回答 （二）、 想一想 如果你是果园的负责人，你最关心的问题是什么 （在上述问题中，种多少棵橙子树，可以使果园橙子的总产量最多？） 你能根据表格中的数据作出猜测吗？ 安排学生思考，可以是小组合作，也可以是自主学习的形式，然后组织交流。在反映函数什变化过程中，教师用自己的手势向学生说明此函数的增减性，0－10时y随x的增大而增大，10－20时y随x的增大而减小，使学生形成对二次函数图象的初步印象 （三） 做一做 银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的，也就是说，利率是一个变量．在我国，利率的调整是由中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的．（本金是存入银行时的资金，利息是银行根据利率和存的时间付给的“报酬”，本息和就是本金和利息的和．利息＝本金×利率×期数(时间)．） 设人民币一年定期储蓄的年利率是x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存．如果存款额是100元，那么请你写出两年后的本息和y(元)的表达式(不考虑利息税)．在这个关系式中，y是x的函数吗？ （四） 归纳总结 从我们刚才推导出的式子y＝－5x2＋100x＋60000和y＝100x2＋200x＋100中，大家能否根据式子的形式，猜想出二次函数的定义及一般形式呢？ 一般地，形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做x的二次函数(quadratic function)． 提问： 1．上述概念中的a为什么不能是0？ 2．对于二次函数y=ax2+bx+c中的b和c可否为0？若b和c各自为0或均为0，上述函数的式子可以改写成怎样？你认为它们还是不是二次函数？ 3．由问题1和2，你能否总结：一个函数是否是二次函数，关键看什么？ 4．二次函数的解析式，与我们所学过的什么知识相类似？通过这个问题，使学生能把二次函数与一元二次方程初步搭上联系即可，为以后的教学做好铺垫． 由这三个问题加深学生对二次函数意义的理解，也同时给出了二次函数的三个特例：y=ax2+bx（a≠0）；y=ax2+c（a≠0）；y=ax2（a≠0），使学生深刻理解：看一个函数是否是二次函数的关键是看二次项的系数是否为0． 例1．下列函数中，哪些是二次函数？ （1）y=3(x-1) +1 (2)y=x+1/x (3)s=3-2t (4) y=1/x -x (5) v=Л r 例2、用总长为60m的篱笆围成矩形场地，场地面积S(m )与矩形一边长a(m)之间的关系是什么？是函数关系吗？是哪一种函数？ 注意：(1)关于x的代数式一定是整式,a,b,c为常数,且a≠0. (2)等式的右边自变量的最高次数为2,可以没有一次项和常数项,但不能没有二次项. (3)二次函数y=ax +bx+c(a,b,c是常数,a≠0)还有以下几种特殊表示形式: ①y=ax -- (a≠0,b=0,c=0,). ②y=ax +c -- (a≠0,b=0,c≠0). ③y=ax +bx -- (a≠0,b≠0,c=0). ... ...
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