11.4整式的除法 【知识点1】整式的除法 1 【题型1】利用多项式除以单项式法则计算 2 【题型2】利用单项式除以单项式法则计算 4 【题型3】根据单项式除以单项式法则求字母的值 6 【题型4】多项式除以单项式的实际应用 8 【题型5】单项式除以单项式的实际应用 11 【题型6】多项式除以单项式的错解问题 13 【题型7】多项式除以单项式与整式的化简求值 14 【知识点1】整式的除法 整式的除法： （1）单项式除以单项式，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式． 关注：从法则可以看出，单项式除以单项式分为三个步骤：①系数相除；②同底数幂相除；③对被除式里含有的字母直接作为商的一个因式． （2）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加． 说明：多项式除以单项式实质就是转化为单项式除以单项式．多项式除以单项式的结果仍是一个多项式． 1.（2025 安徽模拟）计算（-2m）3÷（-m）的结果是（ ） A．8m B．-8m C．8m2 D．-8m2 【答案】C 【分析】先算乘方，再根据单项式除以单项式的运算法则计算即可． 【解答】解：（-2m）3÷（-m）=-8m3÷（-m）=8m2， 故选：C． 【题型1】利用多项式除以单项式法则计算 【典型例题】计算(x3﹣2x2y)÷(﹣x2)的结果是( ) A.x﹣2y B.﹣x+2y C.﹣x﹣2 D.﹣x+2 【答案】B 【解析】原式＝x3÷(﹣x2)﹣2x2y÷(﹣x2)＝﹣x+2y． 故选：B． 【举一反三1】计算(12x3﹣18x2﹣6x)÷(﹣6x)的结果为( ) A.﹣2x2+3x B.﹣2x2﹣3x C.﹣2x2﹣3x﹣1 D.﹣2x2+3x+1 【答案】D 【解析】(12x3﹣18x2﹣6x)÷(﹣6x)＝﹣2x2+3x+1， 故选：D． 【举一反三2】计算：(14a3b2﹣7ab2)÷7ab2的结果是( ) A.2a2 B.2a2﹣1 C.2a2﹣b D.2a2b﹣1 【答案】B 【解析】(14a3b2﹣7ab2)÷7ab2 ＝14a3b2÷7ab2﹣7ab2÷7ab2 ＝2a2﹣1． 故选：B． 【举一反三3】计算：[a3 a5+(3a4)2]÷a2的值是 ． 【答案】10a6 【解析】[a3 a5+(3a4)2]÷a2 ＝(a3+5+9a8)÷a2 ＝(a8+9a8)÷a2 ＝10a8÷a2 ＝10a6． 故答案为：10a6． 【举一反三4】若(﹣25y3+15y2﹣5y)÷M＝﹣5y，则M＝ ． 【答案】5y2﹣3y+1 【解析】∵(﹣25y3+15y2﹣5y)÷M＝﹣5y， ∴M＝(﹣25y3+15y2﹣5y)÷(﹣5y)＝5y2﹣3y+1． 故答案为：5y2﹣3y+1． 【举一反三5】观察下列各式： 第一个等式：(x2﹣1)÷(x﹣1)＝x+1； 第二个等式：(x3﹣1)÷(x﹣1)＝x2+x+1； 第三个等式：(x4﹣1)÷(x﹣1)＝x3+x2+x+1； 第四个等式：(x5﹣1)÷(x﹣1)＝x4+x3+x2+x+1； 根据上述规律，回答下列问题： (1)(x6﹣1)÷(x﹣1)＝ ； (2)写出第n个等式： ； (3)计算：2+22+23+ +262+263的值． 【答案】解：(1)∵第一个等式：(x2﹣1)÷(x﹣1)＝x+1； 第二个等式：(x3﹣1)÷(x﹣1)＝x2+x+1； 第三个等式：(x4﹣1)÷(x﹣1)＝x3+x2+x+1； 第四个等式：(x5﹣1)÷(x﹣1)＝x4+x3+x2+x+1； 第五个等式：(x6﹣1)÷(x﹣1)＝x5+x4+x3+x2+x+1； ∴(x6﹣1)÷(x﹣1)＝x5+x4+x3+x2+x+1， 故答案为：x5+x4+x3+x2+x+1； (2)∵第一个等式：(x2﹣1)÷(x﹣1)＝x+1； 第二个等式：(x3﹣1)÷(x﹣1)＝x2+x+1； 第三个等式：(x4﹣1)÷(x﹣1)＝x3+x2+x+1； 第四个等式：(x5﹣1)÷(x﹣1)＝x4+x3+x2+x+1； …， 第n个等式：(xn+1﹣1)÷(x﹣1)＝xn+xn﹣1+…+x+1， 故答案为：(xn+1﹣1)÷(x﹣1)＝xn+xn﹣1+…+x+1； (3)由以上规律可知： 2+22+23+…+262+263 ＝263+262+…+22+2+1﹣1 ＝(264﹣1)÷(2﹣1)﹣1 ＝264﹣1﹣1 ＝264﹣2． 【举一反三6】已知多项式x3﹣x2+ax+1除以bx，商式是x2﹣x+2，余式为1，求a、b的值． 【答案】解：由题意可知，x3﹣x2+ax+1＝bx×(x2﹣x+2)+1， 整理得：x3﹣x2+ax+1＝bx3﹣bx2+2 ... ...
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