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课件网) 5.2.3简单复合函数的导数 基本初等函数的导数公式： 复习回顾 导数的四则运算法则 导数的加、减运算法则 导数的乘法运算法则 导数的除法运算法则 复习回顾 1.求函数y=(3x-2)2的导数,那么我们可以把平方式展开,利用导数的四则运算法则求导.然后能否用其它的办法求导呢 为了解决上面的问题,我们需要学习新的导数的运算法则,这就是复合函数的导数. 函数 不是由基本初等函数通过加、减、乘、除运算得到的，所以无法用现有的方法求它的导数. 下面，先分析这个函数的结构特点. 若设 ，则 从而 可以看成是由 和 经过“复合”得到的，即 y 可以通过中间变量 u 表示为自变量 x 的函数. 新知讲解 对于两个函数 y=f(u)和u=g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数那么称这个函数为函数 y=f(u)和u=g(x)的复合函数，记作 例.函数 由 和 复合而成 函数 由 和 复合而成 1.复合函数 是 不是 不是 是 不是 是 是 不是 练习 (多选)下列哪些函数是复合函数 A.y=xln x B.y=(3x+6)2 C.y=esin x D.y=sin 例 1 A不是复合函数； BCD都是复合函数. √ √ √ 反 思 感 悟 若f(x)与g(x)均为基本初等函数，则函数y=f(g(x))或函数y=g(f(x))均为复合函数. (多选)下列哪些函数是复合函数 A.y=log2(2x+1) B.y=2x2- C.y=2ln x D.y=cos 跟踪训练 1 √ √ √ 新知讲解 如何求复合函数的导数呢？ 先来研究 的导数. 以 表示 y 对 x 的导数，以 表示 y 对 u 的导数， 以 表示 u 对 x 的导数. 一方面， 另一方面， ， 可以发现， 复合函数求导步骤:分解—求导—相乘—回代. 法则： 一般地,对于由函数y=f(u)和u=g(x)复合而成的函数y=f(g(x)),它的导数与函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为 yx'=yu'·ux‘. 2.复合函数的求导法则 例6 求下列函数的导数： （1） （2） （3） 解： （1）函数 可以看作函数 的复合函数.根据复合函数的求导法则，有 （2）函数 可以看作函数 的复合函数.根据复合函数的求导法则，有 （3）函数 可以看作函数 和 的复合函数.根据复合函数的求导法则，有 求下列函数的导数： (1)y=； 例 2 令u=1-3x，则y==u-4， 所以y'u=-4u-5，u'x=-3. 所以y'x=y'u·u'x=12u-5=. (2)y=cos x2； 令u=x2，则y=cos u， 所以y'x=y'u·u'x=-sin u·2x=-2xsin x2. (3)y=log2(2x+1)； 设y=log2u，u=2x+1， 则y'x=y'u·u'x==. (4)y=e3x+2. 设y=eu，u=3x+2， 则y'x=(eu)'·(3x+2)'=3eu=3e3x+2. 巩固2：抽象复合函数的导数 巩固：复合函数的导数（7班） 反 思 感 悟 (1)求复合函数的导数的步骤 (2)求复合函数的导数的注意点：①分解的函数通常为基本初等函数；②求导时分清是对哪个变量求导；③计算结果尽量简洁. 求下列函数的导数： (1)y=； 跟踪训练 2 y=(1-2x， 设y=，u=1-2x， 则y'x=()'(1-2x)'=·(-2) =(1-2x. (2)y=5log2(1-x)； 函数y=5log2(1-x)可看作函数y=5log2u和u=1-x的复合函数， 所以y'x=y'u·u'x=5(log2u)'·(1-x)' ==. (3)y=sin. 设y=sin u，u=2x+， 则y'x=(sin u)'' =cos u·2=2cos. 例7 某个弹簧振子在振动过程中的位移y（单位：mm）关于时间t（单位：s）的函数满足关系式 . 求函数y在t=3 s 时的导数，并解释它的实际意义. 解： 函数可以看作函数 和 的复合函数.根据复合函数的求导法则，有 当 t=3 时， 它表示当t=3 s 时，弹簧振子振动的瞬时速度为0 mm/s . 课本练习P81 课后练习 课本练习P81 2. 求下列函数在给定点处的导数: 解： 课后练习 课本练习P81 课后练习 3、 解： 课本练习P81 课后练习 一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数. 记作：y=f(g(x)). 2. 复合函数的导数法则： 一般地， ... ...
